2018版高考数学一轮总复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 10.9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布模拟演练 理
[A级 基础达标](时间：40分钟)
1．[2017·文昌市模拟]已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7A. 3C．－1 答案 A
11127
解析 ∵E(X)＝－＋＝－，∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
263332．随机变量X的分布列如下：
B．4 D．1
1
其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝，则D(X)的值是( )
34A. 92C. 3答案 B
1211
解析 a＋b＋c＝1.又∵2b＝a＋c，故b＝，a＋c＝.由E(X)＝，得＝－a＋c，故a33331?21?1?21?1?21511?＝，c＝.D(X)＝?－1－?×＋?0－?×＋?1－?×＝.故选B.
3?6?3?3?3?2962?
3．[2017·辽宁模拟]同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是( )
A．20 C．30 答案 B
1
5
B. 99D. 5
B．25 D．40
解析 依题意可知在一次抛掷中，5枚硬币正好出现2枚正面向上、3枚反面向上的概率5?1?553
C5·??＝，因此E(ξ)＝80×＝25，故选B.
16?2?16
4．[2015·湖南高考]在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
(附：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ 答案 C 1 解析 由题意可得P(0 2 2 S阴影0.3413nn，则P＝＝＝，则n＝3413，选C. S正方形110000 5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( ) 7??A.?0，? ?12?C.? ?1?B.?0，? ?2??1?D.?，1? ?2? ?7，1? ??12? 答案 B 解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p, 发球二次的概率P(X＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)＝p2 2 2 512 －3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p的实际意义， 221?1?可得0 2?2? 2 6．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击2 中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为________． 3 200 答案 20， 3 ?2?解析 记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B?3，?，Y＝10X， ?3? 2 ∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20. 3 D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝21200 . 333 7．已知随机变量X服从二项分布B(10,0.6)，随机变量η＝8－2X，则D(η)＝________. 答案 9.6 解析 ∵随机变量X～B(10,0.6)，∴D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4，∴D(η)＝D(8－2X)＝4D(X)＝9.6. 8．[2017·北京西城区检测]装有某种产品的盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至抽到正品为止，已知抽取次数ξ为随机变量，则抽取次数ξ的数学期望 E(ξ)＝________. 答案 11 8 解析 由题意，可知抽取次数ξ的概率分布列如下： 777111 则E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 10301201208 9．[2017·江西师大附中模拟]已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门． (1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率； (2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望． 解 (1)3名学生选择的选修课所有不同选法有4＝64种；各人互不相同的选法有A4种，A43 故互不相同的概率P＝3＝. 48 (2)选修课A被这3名学生选修的人数X的可能取值为0,1,2,3， 3933 P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2＝， 416416 2 3 3 3 P(X＝2)＝2＝，P(X＝3)＝2＝. 3 3431614116 所以X的分布列为 93313 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 161616164 10．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)．若有2只昆虫先后任意飞出(不考21 虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是. 55 (1)求盒子中蜜蜂有几只； (2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出密蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)． 解 (1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A，设盒子中蜜蜂为 x只，则由题意，得 C11－x21 P(A)＝2＝，所以(11－x)(10－x)＝42， C1155解之得x＝4或x＝17(舍去)， 故盒子中蜜蜂有4只． (2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X的取值可为0,1,2,3， C77C4C728C4C714C44 P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝. C1133C1155C1155C11165故X的分布列为 3 12 21 3 2 72814412 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 33555516511 [B级 知能提升](时间：20分钟) 11．[2017·金版创新]设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ)，函数f(x)＝x＋4x＋ 2 2 4 1 ξ没有零点的概率是，则μ等于( ) 2 A．1 C．4 答案 C 解析 函数f(x)＝x＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的12 对称性，当函数f(x)＝x＋4x＋ξ没有零点的概率是时，μ＝4. 2 12．[2017·南宁模拟]某高校进行自主招生的面试程序如下：共设3道题，每道题答对2 给10分，答错倒扣5分(每道题都必须答，但相互不影响)，设某学生答对每道题的概率为，3则该学生在面试时得分的期望值为________． 答案 15 解析 记学生面试的得分为随机变量η，则η的可能取值为－15,0,15,30，则有P(η1?2?212?1?31?1?22612 ＝－15)＝??＝，P(η＝0)＝C3×??×＝，P(η＝15)＝C3××??＝，P(η＝30) 3?3?27?3?27?3?327 2 B．2 D．不能确定 ?2?38 ＝??＝. ?3?27 16128 所以该学生面试得分的数学期望E(η)＝(－15)×＋0×＋15×＋30×＝15. 2727272713．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕2 业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其 3面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝________. 答案 13 18 1 ，则D(X)＝12 1112 解析 由题意，知×(1－p)＝，即p＝， 3122 2?1?211?1?1?1?1121?1?所以P(X＝1)＝×?1－?＋××?1－?＋×?1－?×＝，P(X＝2)＝××?1－?3?2?32?2?3?2?2332?2?2?1?111152?1?21 ＋×?1－?×＋××＝，P(X＝3)＝×??＝， 3?2?2322123?2?6 11515所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝， 1231263 1?5?21?5?25?5?21?5?213 所以D(X)＝×?0－?＋×?1－?＋×?2－?＋×?3－?＝. 3?3?3?12?3?6?3?1812? 14．在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表： 5