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【专题五】 立体几何
【考情分析】
1． 立体几何内容既承担着对逻辑思维能力的考查，又承担着对空间想象能力的考查，常以选择题、填空题的形式全面考查线线、线面、面面等空间位置关系，难度适中，纵观历年的高考题一定有一个立体几何的解答题，考查平行、垂直的证明及面积、体积的计算等，难度中等，理科还可以以空间向量为工具证明位置关系或求空间中的角和距离等．高考的另一个新趋势是以立体几何为载体，考查函数、解析几何等的知识交汇点的综合题．
2． 立体几何考查的重点有：空间几何体的结构特征、空间几何体的侧面积、表面积和体积、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，三视图是新教材的内容，已经成为了必考的重点知识点．等体积转化法、割补思想是该部分考查的主要思想方法．
【知识交汇】
1．充分、必要条件与点线面位置关系的综合
高考对简单逻辑用语中的充分、必要条件的考查，主要通过与其它部分的综合问题出现，而与立体几何相综合的问题最为普遍，通过这种形式主要考查对充分、必要条件的理解和立体几何部分的几何体、点线面的位置关系等严密性问题．
例1．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“???”是“m??”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面α内的一条直线，m??，则???；反过来则不一定．所以“???”是“m??”的必要不充分条件．
例2．设a,b是两条直线，?,?是两个平面，则a?b的一个充分条件是（ ）
（A）a??,b//?,??? （B）a??,b??,?//? （C）a??,b??,?//? （D）a??,b//?,??? 答案：C
解析：由b??，?∥?得b??，又a??，因此可知b?a，故a?b的一个充分条件是C，选C． 点评：此类题目主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念．解决此类问题的关键是弄清楚点线面之间的位置关系的判定．此类小题是很容易出错的题目，解答时要特别注意．
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2．三视图与几何体的面积、体积的综合
空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，识别三视图所表示的空间几何体，柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征与新增内容三视图的综合会重点考查，新课标地区的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中等偏易题．随着新课标的推广和深入，难度逐渐有所增加．
例3． 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A．9π
B．10π 2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 答案：D
解析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，其表面及为：
C．11π
D．12π
S?4??12???12?2?2??1?3?12?.，故选D．
点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积．既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法．
例4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm． 答案：18
解析：该几何体是由两个长方体组成，下面体积为1?3?3?9，上面的长方体体积为3?3?1?9，因此其几何体的体积为18．
点评：此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．
3．几何体与线、面位置关系的综合
以空间几何体为载体考查直线与平面平行或垂直、平面与平面平行或垂直的判定与性质定理，能用判定定理和性质定理证明线线平行或垂直、线面平行或垂直、面面平行或垂直，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题．
例5． 正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，
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求证：（1）D1O//平面A1BC1；
（2）D1O⊥平面MAC．
证明: (1)连结BD,B1D1分别交AC,AC11于O,O1 在正方体ABCD?A1BC11D1中，对角面BB1D1D为矩形
?O,O1分别是BD,B1D1的中点?BO//DO11
?四边形BO1D1O为平行四边形?BO1//D1O
?D1O?平面A1BC1，BO1?平面A1BC1 ?D1O//平面A1BC1
（2）连结MO，设正方体ABCD?A1BC11D1的棱长为a，
在正方体ABCD?A1BC11D1中，对角面BB1D1D为矩形且BB1?a,BD?2a ?O,M分别是BD,BB1的中点 ?BM?a2BMBO2 ,BO?OD?a ???22ODDD12 Rt?MBO?Rt?ODD1 ??BOM??DDO 1 ?在Rt?ODD1中，?DDO?MO ?90? ??BOM??DOD?90?，即DO11??DOD11在正方体ABCD?A1BC11D1中
?DD1?平面ABCD ?DD1?AC
又?AC?BD，DD1?BD?D ?AC?平面BB1D1D ?D1O?平面BB1D1D ?AC?DO 1 又AC?MO?O ?D1O?平面MAC
点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理． 4．空间向量与空间角和距离的综合
用空间向量解决立体几何问题的基本步骤：（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研
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究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）．
例6． 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4， BC=CD=2， AA1=2， E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点． （1） 证明：直线EE1//平面FCC1； （2） 求二面角B-FC1-C的余弦值．
w．w．w．．．．．．．m D1 A1 C1
B1
E1 E
A D F
C
B
解析：解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，
连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4， CD=2，且AB//CD， //
所以CD=A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， 又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为EE1?平面FCC1，CF1?平面FCC1，
D1 A1 F1 POF
C1
B1
C
B
E1 E
A D 所以直线EE1//平面FCC1．
（2）因为AB=4， BC=CD=2， 、F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形， 取CF的中点O，则OB⊥CF，又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD， 所以CC1⊥BO，所以OB⊥平面CC1F，
过O在平面CC1F内作OP⊥C1F，垂足为P，连接BP，则∠OPB为二面角B-FC1-C的一个平面角， 在△BCF为正三角形中，OB?3，
在Rt△CC1F中， △OPF∽△CC1F，∵
OPOF12 ∴OP?，??2?22CC1C1F22?2w．w．w．．．．．．．m
2OP711422?2?在Rt△OPF中，BP?OP?OB?，cos?OPB?， ?3?BP722142所以二面角B-FC1-C的余弦值为7． 7z D1 C1 B1
D EC 解法二:（1）因为AB=4， BC=CD=2， F是棱AB的中点，
A1 本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！ E1 y
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所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形， 因为ABCD为 等腰梯形，所以∠BAC=∠ABC=60°，取AF的中点M， 连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD，
以DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（3，-1，0），F（3，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（E1（3，-1，1），
13，?，0），
22??????????????????31所以EE1?(,?,1)，CF?(3,?1,0)，CC1?(0,0,2)FC1?(?3,1,2)
22?????????3x?y?0?n?CF?0设平面CC1F的法向量为n?(x,y,z)则?????? 所以 ?????z?0?n?CC1?0???????????31取n?(1,3,0)，则n?EE1??1??3?1?0?0，所以n?EE1，所以直线EE1//平面FCC1．
22?????????????y1?0???n1?FB?0（2）FB?(0,2,0)，设平面BFC1的法向量为n1?(x1,y1,z1)，则???????所以，??????3x1?y1?2z1?0?n1?FC1?0?????取n1?(2,0,3)，则n?n1?2?1?3?0?0?3?2，
?????????n?n127??|n|?1?(3)2?2，|n1|?22?0?(3)2?7，所以cos?n,n1?????， ?7|n||n1|2?7由图可知二面角B-FC1-C为锐角，所以二面角B-FC1-C的余弦值为
7． 7点评：本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算．考查空间想象能力和推理运算能力，以及应用向量知识解答问题的能力，向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方
????????OA·OB式：①先作、证二面角的平面角?AOB，再求得二面角的大小为arccos????????；②先求二面角两个半平面的
OAOB法向量n1，n2（注意法向量的方向要分布在二面角的内外），再求得二面角的大小为arccosn1·n2或其补角；n1n2③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线（垂足不重合），又可转化为求两条异面直线的夹角．
【思想方法】
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