（2）设A1C的中点为M，连结BM,AM.
?BA1?BC,AA1?AC,?BM?A1C,AM?A1C.
??AMB是二面角A?A1C?B的平面角.……………………………………8分
tan?AMB?2,??AMB?arctan2 ?二面角A?A1C?B的大小为arctan2.………………………………12分
20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）在Rt?PMC中，显然|MC|?30?x，?PCM?60?，
?|PM|?|MC|?tan?PCM?3(30?x)，…………2分
NPB矩形AMPN的面积
S?|PM|?|MC|?3x(30?x)，x?[10,20] ………4分
于是2003?S?2253为所求.………………………6分
AMC（2） 矩形AMPN健身场地造价T1?37kS ………………………………………7分
又?ABC的面积为4503，即草坪造价T2?12kS3S(4503?S)，……………8分
由总造价T?T1?T2，?T?25k(S?216)，2003?S?2253.…10分
?S?216S3?1263，……………………………………………………11分
当且仅当S?216S3即S?2163时等号成立，……………………………12分
此时3x(30?x)?2163，解得x?12或x?18，
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.………………………14分
— 6 —
21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）z1?z2?(2sin??3i)?1?(2cos?)i?
3)i?R，…………………………2分
?(2sin??23cos?)?(2sin2??32 ?sin2?? 又
2?3，……………………………………………………………………4分
23?2???，?2???，即???3.……………………………………6分
?2?2（2）a?b?8，………………………………………………………………………8分
??a?b?2sin??23cos?，………………………………………………………10分
?????2?2(?a?b)?(a??b)??(a?b)?(1??)a?b?0.
2??得8??(1??2)(2sin??23cos?)?0，整理得因为??只要?122?1??2??sin(???3).……12分
?3??[0,2?1???62]，所以sin(???1)?[0,]. 32?0即可，…………………………………………………………13分
解得???2?
3或?2?3???0.……………………………………………14分
22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 解：（1）假设数列{an}是“p?摆动数列”，
即存在常数p，总有2n?1?p?2n?1对任意n成立，
不妨取n?1时则1?p?3，取n?2时则3?p?5，显然常数p不存在， 所以数列{an}不是“p?摆动数列”； ……………………………………………2分
n2n?1?0对任意n成立，其中p?0. 由bn?q，于是bnbn?1?q所以数列{bn}是“p?摆动数列”. ………………………………………………4分 （2）由数列{cn}为“p?摆动数列”， c1?1?c2?即存在常数
1212，
?p?1，使对任意正整数n，总有(cn?1?p)(cn?p)?0成立；
即有(cn?2?p)(cn?1?p)?0成立.
则(cn?2?p)(cn?p)?0，…………………………………………………………6分
— 7 —
所以c1?p??c3?p???c2n?1?p.……………………………………7分 同理c2?p?c4?p???c2n?p.…………………………………………8分 所以c2n?p?c2n?1?同理
1c2n?11c2n?1?1?c2n?1，解得c2n?1?5?125?125?12即p?.…9分
?c2n，解得c2n?；即p?5?12.…………………………10分
综上p?5?12.……………………………………………………………………11分
（3）证明：由dn?(?1)n?(2n?1)?Sn?(?1)n?n，…………………………………13分
显然存在p?0，使对任意正整数n，总有SnSn?1?(?1)2n?1?n(n?1)?0成立， 所以数列{Sn}是“p?摆动数列”； …………………………………………………14分 当n为奇数时Sn??n递减，所以Sn?S1??1，只要p??1即可 当n为偶数时Sn?n递增，Sn?S2?2，只要p?2即可
综上?1?p?2，p的取值范围是(?1,2).………………………………………16分
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）
??2sinx???2（1）解：函数y?T(sinx)??2?2?2sin?x?2?函数y?sin?
??0?x?1313
?x?1?T(x)??sin?x（0?x?1）……………………………………4分 ?2?1?1?2ax,0?x?2ax,0?ax????2?2（2）y?aT(x)??，y?T(ax)??……6分
1?2a(1?x),?x?1?2(1?ax),1?ax?1???2?2
当a?0时，则有a(T(x))?T(ax)?0恒成立.
当a?0时，当且仅当a?1时有a(T(x))?T(ax)?T(x)恒成立.
综上可知当a?0或a?1时，a(T(x))?T(ax)恒成立；………………………8分
（3）① 当x??0,??11?j?0?2x?j?N，1?i?n?1时，对于任意的正整数，都有 n?22?2jn?1故有y?Tn(x)?Tn?1(2x)?Tn?2(2x)???Tn?j(2x)???T(2x)?2x…13分
n— 8 —
② 由①可知当x?0,???1?n时，有T(x)?2x，根据命题的结论可得， nn?2?1?12??02??01??02?x?,?,?x?,?当 ?2n2n??2n2n?时，有2n?1?2n2n??2n,2n?，
????????故有Tn(x)?Tn(12n?1?x)=2(n12n?1?x)??2x?2.
n因此同理归纳得到，当x?in?ii?1?n(i?N，0?i?2?1)时， ,?2n2n???1n?i是偶数?2x?i，……………………15分 Tn(x)?(?1)(2x?i?)?=?n22???2x?i?1，i是奇数1对于给定的正整数m，x?解方程Tm(x)?kx得，x??ii?1?m(i?N，0?i?2?1)时， ,mm?22????2i?1??(?1)i2m?1?(?1)2ki，
要使方程Tm(x)?kx在x??0,1?上恰有2m个不同的实数根， 对于任意i?N，0?i?2?1，必须解得k?(0,2mmmi2m??2i?1??(?1)i2m?1?(?1)2ki?i?12m恒成立，
2?12m?1), 若将这些根从小到大排列组成数列?xn?，
m ?n?N?，1?i?2?.……………………17分
由此可得xn??2n?1??(?1)n?(?1)2kn故数列?xn?所有2m项的和
S?x1?x2??x2m?1?x2m
mmm?1m?0?2?4???(2?2)2?km?2?4?6???22?km?2(4?2k)m24?k.……18分
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