（Ⅱ）求cos2?的值．
【考查目标】本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识，
考查运算能力.
【命题溯源】《第三册》（选修Ⅱ）P125．练习1（1）改编． 【本题别解主要有】
别解一: cos2??cos??sin? ?别解二:?tan??2，?tan2??又tan??2,可知 k??22cos2??sin2?cos??sin?22?1?tan2?1?tan?2?1?41?4??35
2tan?1?tan?2?41?4??43
?4???k????35?2(k?Z)， 从2k???2?2??2k???(k?Z)
∴cos2???11?tan2?2．
【答卷分析】 平均分：9.55 难度：0.80 标准差：3.71 【本题出现的典型错误有】
① tan??2?sin??4cos??1?cos??4cos??cos?? 从而cos2??2cos??1?2?()?1??22222215
122325??5（重复平方）
② 由tan??2，则:tan2??, 知2?可在第二或四象限.
1?tan2?4333当2?在第二：cos2???; 当2?在第四：cos2??.
552tan??1?44
文17.（本小题满分14分）
如图6所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
AB?BC?1,BB1?2，连结A1C 、BD.
（Ⅰ）求证：A1C?BD；
（Ⅱ）求三棱锥A1?BCD的体积． 图6 【考查目标】本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理运算能力. 【答卷分析】 平均分：10.11 难度：0.73 标准差：4.75 【本题别解主要有】
① 用三垂线定理证明(略); ② 先证平面ABCD?平面A1AC
?平面ABCD?平面A1AC?AC，正方形ABCD中，AC?BD，BD?平面ABCD ?BD?平面A1AC ?A1C?平面A1AC?BD?A1C
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③ 向量法.
以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0),D(0,1,0) ,A1((0,0,2),C(1,1,0) .
A1C?(1,1,2),BD?(?1,1,0)?A1C?BD?0,?A1C?BD.
【本题出现的典型错误有】
① 叙述不规范：如“?”写成“?”等;
② 建立直角坐标系，但叙述不完整，或图形上不标方向; ③ 书写不规范;
④ 用等积法求，但找错高，常把OC当作三棱锥C?A1BD的高; ⑤ 计算VA1?BCD时，将A1O作为三棱锥A1?BCD的高; ⑥ 计算出错.
理17. （本小题满分14分）
如图5所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
A1 B1 D1 C1 AB?BC?1,BB1?2，E是棱CC1上的点， 且CE?14CC1．
（Ⅰ）求三棱锥C?BED的体积；
（Ⅱ）求证：A1C?平面BDE． A E 【考查目标】本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能 力和推理运算能力. B 【答卷分析】 平均分：11.60 难度：0.80 标准差：3.41. 【本题别解主要有】
别解:（Ⅰ）平面BDE的法向量n?(1,1,2)，A1C?(1,1,2),
.D C 点C到平面BDE的距离d=|CE?n||n|?66,SBDE=
64,再计算体积.
（Ⅱ）∵A1C?(1,1,2),∴A1C?n,
..∴AC//n ∴AC⊥平面BDE. 【本题出现的典型错误有】
① 第（Ⅰ）问，没有交待高CE扣1分 ；
② 第（Ⅱ）问，A1C?BD和A1C?BE的运算过程没有造成扣分；
③ 向量垂直A1C?BD, A1C?BE,没有转化为直线垂直A1C⊥BD, A1C⊥BE造成扣分.
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④ 体积公式记错, 如V?12Sh,V?14Sh,V?16Sh等.
文18.（本小题满分14分）
函数f(x)?2和g(x)?x的图像的示意图如图7所示， 设两函数的图像交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且x1?x2． （Ⅰ）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数? （Ⅱ）若x1?[a,a?1]，x2?[b,b?1]，且
x3a,b??1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12?，
指出a，b的值，并说明理由； （Ⅲ）结合函数图像的示意图，判断f(6)，g(6)，f(2007)，
g(2007)的大小，并按从小到大的顺序排列．
【考查目标】本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理运算能力． 【答卷分析】 平均分：6.49 难度：0.46 标准差：3.79 【本题别解主要有】观察下表可以得到解答： x G(x) F(x) 1 1 2 2 8 4 3 17 8 4 64 16 5 125 32 6 216 64 7 343 128 8 512 256 9 729 512 10 100 1024 【本题出现的典型错误有】
(1) ?x1?[a,a?1],x2?[b,b?1], ?x2?x1?[b?a,b?a]
∴ a=1 , b=6
∵ f(x)=g(x),
即2x?x3,当a?1时，x1?[1,2],f(1)?2,f(2)?4,g(1)?1,g(2)?8,符合题意
∵ 2?x，∴ log2x?1x3x3
2∴ 当x=1时，2离等于
3312的机会较小；当x=2时，23离等于2的机会较大；
当x=3时，22离等于3的机会较大；??
1012当x=10时，23离等于10的机会较大；当x=12时，23离等于12的机会较小；
∴ 综上所述，?x1?[2,3],x2?[9,10], ∴ a=2,b=9
令F(x)=2?x, ∵x∈[1,3],根据二分法得，F(1)>0,F(2)<0, ∴a=1.
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x3(2) 函数符号表达不清楚; (3) 得分点把握不到位:如
① 计算出f(6)与g(6)的值,但没有结论f(6) ②f(2007)与g(2007)的比较说理不清楚或者没有说理过程 (4) 对“a=1,b=9”的理解不清,不会将问题进行转化,审题缺乏灵活性. 理18. （本小题满分12分） 甲箱的产品中有5个正品和3个次品， 乙箱的产品中有4个正品和3个次品． （Ⅰ）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； （Ⅱ）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中， 然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【考查目标】本小题主要考查条件概率和互斥事件的概率计算，考查运用概率知识解决实 际问题能力. 【答卷分析】 平均分：7.65 难度：0.64 标准差：3.81 【本题别解主要有】 别解1：分3类，然后相加而得，解法如下： 记“从甲箱中取出2个产品为正品放入乙箱，然后再从乙箱中取出正品”为事件A， 则P（A）= 58?47?69?5215; 375525?)??; 879843记“从甲箱中取出2个产品为一个正品和一个次品放入乙箱，然后再从乙箱中取出正品” 为事件B，则P（B）=(?8?记“从甲箱中取出2个产品为次品放入乙箱，然后再从乙箱中取出正品”为事件C， 则P（C）=?3278?49?121; 5212584121712记“从乙箱中取出的产品为正品”为事件D，则A、B、C互斥，且D=A+B+C， 所以，P（D）=P（A+B+C）= + + = 别解2：设从甲箱中取了2个产品放入乙箱后，乙箱中的正品数为X，则X的取值可能为4， 5，6，其中 X=4”表示“从甲箱中取出2个产品为次品放入乙箱”，则P（X=4）= C32C82?328; “X=5”表示“从甲箱中取出2个产品为一个正品和一个次品放入乙箱”， 则P（X=5）= 11C5?C3C28?1528; “X=6”表示“从甲箱中取出2个产品为2个正品放入乙箱”，则P（X=6）= C52C82 ?514; 所以，乙箱中正品数X的期望为 E（X）=4?328?5?15所以，此时从乙箱中再取出一个产品为正品的概率为P = 28E(X)9?6??514712 ?14728 14 别解3:（Ⅱ）用?表示从甲箱中取出正品数,则?的分布列为: ? P 0 1 11C5C32 C32C82 C82 C52C82 ?E??0?328?1?1528?2?1028?54 5?474故从乙箱中取出一个产品是正品的概率为P=. ?2?712【本题出现的典型错误有】 (1) 概念不清晰 ② 学生对条件概率,互斥事件等基本慨念不清楚; ②甚至有的学生出现 C32A28等明显问题,体现出学生基本慨念的薄弱; ③少数学生还出现C15这样的形式. 27 (2) 计算不准确 ①组合数计算C8=8?7=56等低级错误; ②分数相加 2121?2584?521?3984等. (3) 答题不规范 ①没有必要的文字说明; ③ 运算结果不追求最简,如: 14749等不化简; ,25284③ 第2问很多只考虑了“乙箱中取到正品”的概率，而未注意“甲箱中取来的正品” 产生的影响； ④ 忘记作答，扣1分. 文19.（本小题满分12分） 某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p与日产量x（x?N） 件间的关系为 *?x?20,0?x?15,??200 p??2x?300?,15?x?30.??3000 15