专题能力训练5 导数及其应用
(时间:60分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ) A.-2 B.2 C.- D. 2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
2x3.已知a≥0,函数f(x)=(x-2ax)e.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是( ) A.0
4.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
5.(2017浙江金丽衢十二校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有( )
A.1个极大值点,2个极小值点 B.2个极大值点,1个极小值点 C.3个极大值点,无极小值点 D.3个极小值点,无极大值点
6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为( ) A.π B. C. D.
x-aa-x7.已知函数f(x)=x+e,g(x)=ln(x+2)-4e,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为( ) A.-ln 2-1 B.ln 2-1 C.-ln 2 D.ln 2
2
8.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是( ) A. B.(-1,+∞) C.(1,+∞) D.(-ln 2,+∞)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
32
9.若f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围
1
为 .
32
10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x+ax+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a= .
11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 .
3x2
12.已知函数f(x)=x-2x+e-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a)≤0,则实数a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=若对于?t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是 .
32
14.设函数f(x)=ax+bx+cx+d(a≠0)满足f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论: ①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数; ②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;
③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点. 其中正确的结论为 .(填序号)
三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
3
15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x+|x-a|(a∈R). (1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).
16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0). (1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
3
(2)当a>0时,设函数g(x)=x-f(x),函数h(x)=g'(x), ①若h(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).
参考答案
专题能力训练5 导数及其应用
2
1.A 解析 由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.
2.C 解析 f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增
222
大,ln(-x+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x+2x减小,ln(-x+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.
x2
3.C 解析 f'(x)=e[x+2(1-a)x-2a], ∵f(x)在[-1,1]上单调递减, ∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立.
2
令g(x)=x+2(1-a)x-2a, 则
解得a≥.
4.B 解析 由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.
5.A 解析 F'(x)=f'(x)-k,如下图所示,从而可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极小值点,x2为极大值点,即F(x)有1个极大值点,2个极小值点,应选A.
6.D 解析 函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90°时,其图象都仍然是一个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且0 x-aa-x7.A 解析 由题意得f(x)-g(x)=x+e-ln(x+2)+4e,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2, 则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增, ∴h(x)min=h(-1)=-1, x-aa-x又∵e+4e≥2=4, ∴f(x)-g(x)≥3, 当且仅当时等号成立. 故选A. 8.A 解析 设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x1>0),则切线方程为y-ln x1=(x-x1),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,+2x2+a)(x2<0),则切线方程为y-(+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2), 所以有 因为x2<0 3 又a=ln x1+-1 =-ln-1,令t=, 2 所以0 2 设h(t)=t-t-ln t(0 所以a∈.故选A. 2 9.(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析 f'(x)=3x+6ax+3(a+2),由题意知f'(x)=0有两个不相等 22 的实根,则Δ=(6a)-4×3×3(a+2)>0,即a-a-2>0,解得a>2或a<-1. 22 10.5 解析 f'(x)=3x+2ax+3,由题意知x=-3为方程3x+2ax+3=0的根,则2 3×(-3)+2a×(-3)+3=0,解得a=5. 11.(-2,0)∪(2,+∞) 解析 令g(x)=,则g'(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(-x)==g(x),则g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),则f(x)=xg(x)>0?解得x>2或-2 3-x12. 解析 因为f(-x)=(-x)-2(-x)+e-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因 22222 为f(a-1)+f(2a)≤0可化为f(2a)≤-f(a-1),即f(2a)≤f(1-a),所以2a≤1-a,2a+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围是. 13. 22 14.①②③ 解析 由f(1)+f(3)=2f(2)化简得b=-6a.f'(x)=3ax+2bx+c=3ax-12ax+c,其对称轴为x=2,如果f(x)在区间(0,1)上递增,其关于x=2对称的区间为(3,4),故区间(3,4) 2 也是其增区间,①正确.a[f(1)-f(3)]≥0,即2a(11a-c)≥0,导函数f'(x)=3ax-12ax+c的判 2 别式144a-12ac=12a(12a-c),当a>0时,12a-c>11a-c≥0,判别式为正数,当a<0时,11a-c≤0,12a-c≤a<0,其判别式为正数,即导函数有零点,根据二次函数的性质可知原函数有极值,②正确.注意到f'(2)=c-12a,则③转化为f'(2)=,即函数图象上任意两点连线的斜率和函数在x=2处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于x=2是导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的最小值点,即有且仅有一个最小值点,故③正确. 32 15.解 (1)因为当a=1,x<1时,f(x)=x+1-x,f'(x)=3x-1, 所以f(0)=1,f'(0)=-1, 所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1. (2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)= 2 当a 2 当-1 ②当a∈时,f(x)在上递增,在上递增,在(a,1)上递增, 33 所以f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a}=a. 综上所述,f(x)min= 16.解 (1)∵f'(x)=a=aln x,令f'(x)>0, 当a>0时,解得x>1;当a<0时,解得0 ∴当a>0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(1,+∞); 当a<0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(0,1). 22 (2)①∵h(x)=g'(x)=x-f'(x)=x-aln x, ∴由题意得h(x)min≥0. 4