p?(a?b)2，
2则整数a,b必为一奇一偶.（否则，a,b均为偶数或均为奇数，则p?(a?b)必为偶数，
与已知p?4n?3为奇数矛盾） 不妨设
a?2s?1,b?2t（其中s，t为整数），
则
p?(a?b)2?[2(s?t)?1]2?4[(s?t)2?(s?t)]?1?4m?1（m为整数）.
这显然与p为形如4n?3这样的数矛盾，故p不能化为二整数的和的平方. 3.2 导致与已知的公理、定义、定理、性质、公式等客观事实相矛盾
a2(例7 设方程x)?by?c?0的系数有如下关系，ap?2bn?cm?0（m,n,p均为实22数）且mp?n?0.求证：方程存在实数解 .
证明 假设方程无解，则
b2?ac?0，
可得 又因为
b2?ac.
mp?n2?0，
可得
mp?n2.
所以
acmp?b2n2 . （1）
又由 ap?2bn?cm?0， 可得
bn?ap?cm . （2） 22将（2）代入（1）并化简，得(ap?cm)?0.这显然出现矛盾，故命题得证，方程有解.
3.3 导致与假设矛盾
a2a2例8 三个方程：(x)?2ax?4a?3?0，x2?(a?1)x?a2?0，x?ax??0，中至
22少有一个方程有根，求实数a的取值范围.
证明 “至少有一个”就是“有一个”，“有两个”或者“有三个”等，它的反面就是“一个都没有” .
假设三个方程都无实数解， 即
5
1?3??a?,?2??1?4a2?(4a?3)?02??221??2?(a?1)?4a?0 ? ?a??1或a?, ?3?2???a?2a?03???2?a?0,??3得 ??a?1?.
23a??所以当或者a??1时三个方程至少有一个方程有实数根.
23.4 导致自相矛盾
[4] 例9 求证：不定方程8x?15y?50没有正整数解. 证明 假设方程有正整数解x?m,y?n,则
8m?15n?50，
即
8m?50?15n?5(10?3n).
因此5能整除8m，从而5能整除m.
从而 m?5. （1）
?1n5?又 8m?508. 5所以 m?35/? （2）
?50?15，
显然，（1）与（2）是自相矛盾的，故方程没有正整数解.
4 反证法在一些高中证明题及其一些竞赛数学题中的巧妙运用（不等式.平面几何.数论.函数）
4.1 反证法巧妙运用于一些高中数学问题
例10 p?q?2，求证：p?q?2（1）直接证明
3322证明 因为2?p?q?(p?q)(p?pq?q)，
[5]33.
当
p?q?2，
有
p2?pq?q2?1.
?又因为 p,q?R.
所以无法证明p2?pq?q2?1.用直接证明法很难证明这题. （2）反证法
直接证明很困难，但改为证明它的“逆否命题” 就要简单很多，即，证明：若 p?q?2，
6
则p?q?2.
证明 假设p?q?2，则
33q?2?p，
从而 q3?8?12p?6p2?p3，
41由上式变形得 p3?q3?6(p2?2p?= )6[(p?1)2?]，
332) 因此 p3?q3?2?6(p?1，
33所以 p?q?2.
故p3?q3?2 ，结论成立.
在高中数学证明题中，这类题目在形式上是比较简单的，但要解起来且有一定的困难，这时候可以想一下应用反证法. 就像这一道题目用直接证明法几乎做不出来，但用反证法却很简单.
例11 如果a,b,c是不全相等的实数，a,b,c成等差数列，求证：
[6]111,,不成等差数abc列.
（1）直接证明
证明 由a,b,c成等差数列，得
2b?a?c，
12?因此 . ba?c所以
1121a?c????， baa?caa(a?c)1112a?c???? . cbca?cc(a?c)由已知条件知a,b,c是不全相等的实数，
1111所以 ???，
bacb故
111,,不成等差数列. abc
（2）反证法
证明 假设
111,,是一个等差数列，则 abc211a?c???， bacac7
由a,b,c成等差数列
得
2b?a?c， （1） 2a?c2b?因此 ?，
bacac所以
b2?ac. （2）
111由（1）（2）得出，a?b?c，与a,b,c是不完全相等的实数相矛盾， 故 ,,abc不成等差数列.
这一道题目用直接证明的方法也没有什么难度，但采用反证法来的更简洁.
1?x1?y?例12 若 x,y?R,x?y?2,证明： 和 中至少有一个小于2.
yx（1）直接证明
1?y1?x?2?2都成立，则 证明 假设，
yx?y?2x?1, ?
x?2y?1.?因此
x?y?2x?2y?2，
从而
x?y?2.
故结论成立.
1?x1?y?2成立， ?2假设，yx因此
1?y?2x， 1?x?2y， （1）
又因为 x?y?2，
所以 y?2?x. （2）
将（2）代入（1）得x?1，即当x?1时命题成立，同理可证当y?1时
1?y?2， x1?x?2符合命题. y?故当x,y?R,x?y?2,时
1?x1?y 和 中至少有一个小于2.
yx（2）反证法
1?y1?x?2?2，则 证明 假设且
yx1?y?2x，1?x?2y，
两式相加得
2?(x?y)?2(x?y)，
因此 2?x?y.
这与x?y?2相矛盾，所以原命题成立. 命题的结构让我们马上联想到反证法，事实上也证明了用反证法比用直接证明法证明
8
这道题目更具有快速性，简便性，这是解题时的一种成功经验总结. 4.2 反证法在一些竞赛数学问题中的巧妙解法
例13 设?ABC使锐角三角形，当D,E,F分别在BC，线段AD，BE,CFCA，AB边上，经过?ABC的外心O.已知以下6个比值；
BDCDAECEAFBF ,,,,,DCDBECEAFBFA中至少有两个是整数，求证：?ABC是等腰三角形[7].
BDCDAECEAFBF证明 不难证明是三个三角形AOB,BOC,COA彼此的面,,,,,DCDBECEAFBFA积之比。而当这三个三角形有两个面积相等时，?ABC是等腰三角形，现在假设?ABC不是等腰三角形 ，但此6个比值却至少有两个是整数，就只有下面两中情况： （1） 三个三角形AOB,BOC,COA的面积有一个是其他两个的倍数. （2） 三个三角形AOB,BOC,COA的面积有两个同为第三个的倍数.
在上面两种情况中，两个“倍数”都不是一倍，也不能相同。又因为?ABC是锐角三角形，所以AOB,BOC,COA任意两个的面积大于第三个，比如说
S?AOB?S?BOCBO??1，
S?AOCOE在上述两种情况中，分别令三角形AOB的面积是另两个的x倍和y倍，或者是另两个的倍和
1x111倍。无论如何总能得到x?y?1或者??1这样的矛盾式子，故假设不成立，
xyy所以?ABC是等腰三角形.
例14 证明 形如
[7] 3. 0??0?0????0，0n=1,2,1?的数不可能是完全平方数???n-1个02证明 假设 3000???001?R，R?N，则 ?????n-1个0
R2-1=3?10n，
?R?1??R?1??3?2n?5n，
由于R?1与R?1不可能都是5的倍数，故在R?1和R?1中，仅有一个是5的倍数. 若
R?1?A?5n,A?N，
则
R?1?A?5?2，
n于是
A?5n??A?5n?2??3?2n?5n，
由此得
5n?2?3n?2.
当n?2时，这个不等式不成立，所以只能是n?1，当n?1时所给的数为31，不是
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