21．（本小题满分13分） 设函数f(x)?ax?（Ⅰ）用a表示b； （Ⅱ）设g(x)?lnx?f(x)，若g(x)??1对定义域内的x恒成立， （ⅰ）求实数a的取值范围；
b(a,b?R)，若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1． x 11
（ⅱ）对任意的??[0,?2)，证明：g(1?sin?)?g(1?sin?)．
bb?f(1)?a??a?b?1?b?a?1；，依题意有：2221．解：（Ⅰ）f?(x)?a?xx-------------3分
（Ⅱ）g(x)?lnx?f(x)?lnx?(ax?a?1x)??1恒成立． （ⅰ）g(x)??1恒成立，即g(x)max??1．
g(x)??1恒成立，则g(1)?1??a?a?1?1?0?a?1．
当a?1时， ?a[x?1g?(x)??(ax?a?1)(x?1)(?1?)](x?1)x2?ax2?0?x?1,x??1?1ax??1?1a?0,x2g?(0)?0 则x?(0,1)，g?(x)?0，g(x)单调递增， 当x?(1,??)，g?(x)?0，g(x) 单调递减，
则g(x)max?g(1)?1?2a??1，符合题意，即g(x)??1恒成立．
所以，实数a的取值范围为a?1． --------------------7分（ⅱ）由（ⅰ）知，g(x)??1恒成立，实数a的取值范围为a?1． 令sin??t?[0,1)，考虑函数
p(t)?g(1?t)?g(1?t)?ln(1?t)?a(1?t)?a?11?t?[ln(1?t)?a(1?t)?a?11?t]=ln(1?t)?ln(1?t)?2at?(a?1)[11 1?t?1?t]p?(t)?11a?1a?1?t?1?t?2a?(1?t)2?1(1?t)2?21?t2?2a?(a?1)[11(1?t)2?(1?t)2]， 下证明p?(t)?0，即证：21?t2?2a?(a?1)[11(1?t)2?(1?t)2]?0，即证明 11?1?t2?a?(a?1)[t2(1?t)2(1?t)2]?0， 由11?t21?t2?1，即证1?a?(a?1)[(1?t)2(1?t)2]?0，
,
12
1?t2又a?1?0，只需证?1??0，
(1?t)2(1?t)2即证1?t2?(1?t)2(1?t)2?t4?3t2?0?t2(t2?3)?0，显然成立． 即p(t)在t?[0,1)单调递增，p(t)min?p(0)?0， 则p(t)?0，得g(1?t)?g(1?t)成立， 则对任意的??[0,?2)，g(1?sin?)?g(1?sin?)成立．-----------------------1
21、（本题满分14分）已知函数f(x)?x2?ax?2，g(x)?aln(x?1)?2a?6（a为常数）
（1）当x?[2,??)时f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数h(x)?xf(x)有对称中心为A（1，0），求证：函数h(x)的切线L在切点处穿过h(x)图象的充要条件是L恰为函数在点A处的切线。（直线穿过曲线是指：直线与曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧）
21、解：（1）设F(x)?f(x)?g(x)?x2?ax?2a?4?aln(x?1)
ax[2x?(a?2)]? x?1x?1a'令：F(x)?0得:x?0,x?1?
2a所以：当1??2即a?2时，F(x)在x?[2,??)是增函数F(x)最小值为F(2)?0，满
2所以F(x)?2x?a?'足。 当1?函数
aaa?2即a?2时，F(x)在区间(2，1?)为减函数，在区间（1?，??）为增222a)?F(2)?0，故不合题意。 2所以：实数a的取值范围是：a?2 ┄┄┄┄┄┄┄ 6分
所以：F(x)最小值F(1?（2）因为h(x)?xf(x)关于A（1，0）对称，则h(x?1)是奇函数，所以a?3
所以h(x)?x?3x?2x ，则h(x)?3x?6x?2 若L为A点处的切线则其方程为：y?1?x
令t(x)?h(x)?(1?x)?x?3x?3x?1，t(x)?3x?6x?3?3(x?1)?0
32'2232'2 13
所以t(x)为增函数，而t(1)?0所以直线L穿过函数h(x)的图象。┄┄┄┄┄ 9分 若L是函数h(x)图象在B(m,h(m))的切线，则L方程：y?h'(m)(x?m)?h(m) 设G(x)?h(x)?h'(m)(x?m)?h(m)，
则G'(x)?h'(x)?h'(m)?3x2?6x?2?3m2?6m?2?3(x?m)(x?m?2) 令G'(x)?0得：x?m,x?2?m
当m?2?m即m?1时：x?(??,m)时G'(x)?0则G(x)在区间(??,m)为增函数
x?(m,2?m)时G'(x)?0则G(x)在区间(m,2?m)为减函数
从而G(x)在x?m处取得极大值，而G(m)?0，
则当x?(??,2?m)时G(x)?0，所以h(x)图象在直线L的同侧 所在L不能在B(m,h(m))穿过函数h(x)图象， 所以m?1不合题意，同理可证m?1也不合题意。 所以m?1（前面已证）所以B即为A点。、
所以原命题成立。 22．（本小题满分16分）
对于定义在D上的函数y?f?x?，若存在x0?D，对任意的x?D，都有
f?x??f?x0?或者f?x??f?x0?，则称f(x0)为函数f(x)在区间D上的“下确界”或
“上确界”．
（Ⅰ）求函数f(x)?ln(2?x)?x2在[0,1]上的“下确界”；
（Ⅱ）若把“上确界”减去“下确界”的差称为函数f(x)在D上的“极差M”， 试求
3a?0）函数F(x)?xx?2a?（在[1,2]上的“极差M”；
（Ⅲ）类比函数F(x)的“极差M”的概念， 请求出
xyG(xy,?)?x(1?y)?(1?)在D??(x,y)x,y?[0,1]?上的“极差M”．
1?y1?x22．（本小题满分16分） 解
：（
Ⅰ
）
令
f?(x)??1?2x?02?x，则
2x2?x4??1， 0?x1?1?22 ?1?x2?1?22 显然，x1??0,1?，列表有：
x f(x)
/ 0 (0, x1) - x1 0 (x1, 1) + 1 14
f(x) ln2 ↘ 极小值 ↗ 1 所以，f(x)在[0,1]上的“下确界”为 f(x1)?ln(1?分
（Ⅱ）①当0?a?23)??2. ??????4221时，F(x)max?F(2)，F(x)min?F(1) ， 2极差M?F(2)?F(1)?3?2a； ②当
15?a?时，F(x)max?F(2)，F(x)min?F(2a)， ks5u 26极差M?F(a)?F(2a)?4?4a；ks5u ③当
5?a?1时， 6F(x)max?F(1)，F(x)min?F(2a)，极差
M?F(a)?F(2)?2a?1；
④当1?a?3?F(2) ，时，F(x)max?F(a) F(x)min2极差M?F(a)?F(2)?(a?2)2 ； ⑤
当
3?a?22时，
F(x)max?F(a)1)，
F(x)min?F(1)，极差
M?F(a)? ( ；F(1?2) a??F(1) ⑥当a?2时， F(x)max?F(2), F(x)，min极差M?F(2)?F(1)?2a?3.
1?3?2a, 0
1?x?y?x2y2xy(1?xy)?1??1， （Ⅲ） 因为G(x,y)?(1?x)(1?y)(1?x)(1?y) 当xy?0或xy?1时等号成立，所以G(x,y)的最大值为1． ??????12分
15