2012年上学期学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 计数原理
小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一般都采用通项公式解决.
※ 动手试试
练1. ⑴ 求?2a?3b?展开式中的第3项系数和二
项式系数.
61. ?a?2b?的展开式中第3项的二项式系数为 第3项系数为 ；
2. (x?1)展开式的第6项系数是（ ） (A) C10 (B) ?C10 (C) C10 (D)?C10
33. 在?1?2x?的展开式中，含x项的系数
611106655是 ；
1??4. 在?3a??的展开式中，其常数项
a??是 ；
5. ?x?a?的展开式中倒数第4项是 .
125 课后作业 1. 求2a?3b
?3210?展开式中第8项；
?21?练2. ⑴ 求?x??的展开式中的常数项；
2x?? ⑵ 若?1?2x?的展开式中第6项与第7项的系
nn9
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 注意二项式定理中二项展开式的特征.
2. 区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法.
※ 知识拓展
问：(a?2b?3c)的展开式中abc项的系数是多少？ 7数相等，求n及?1?2x?展开式中含x的项． 2. 求?2?x?的展开式中的常数项.
??x4????36
153.求(1?2x)展开式的前4项；
?1?5x??4.（04年全国卷）?展开式中的系数x??x??是 .
8232
§1.3.2 杨辉三角与
二项式系数的性质
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
学习目标 16
长春第二高中 高二数学◆选修2－3◆导学案 编写：崔文启 校审：翟志发
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 函数图象有何性质？（以n＝6为例）
新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是r?
试试：
① 在(a＋b)6展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
n. 2 学习过程 一、课前准备 （预习教材P32~ P35，找出疑惑之处）
复习1：写出二项式定理的公式： ② 若a?bn的展开式中，第三项的二项式系数与
第五项的二项式系数相等，则n＝ .
r⑴ 公式中Cn叫做 ， 反思：为什么二项式系数有对称性？
??二项展开式的通项公式是 ，用符号
表示 ，通项为展开式的第 项. ⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项
式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二
n项式系数逐渐 . ⑵ 在(a?b)展开式中，共有 项，各项次
数都为 ，a的次数规律是 ， 当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，b的次数规律是 ，各项系数它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项分别是 .
和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，
二项式系数都取得最大值. 10?2? ?复习2：求??x?? 展开式中的第4项二项nx??试试：(a?b)的各二项式系数的最大值是
式系数和第4项的系数. ⑶ 各二项式系数的和：
n 在(a?b)展开式中，若a?b?1，则可得到
01rnCn?Cn?????Cn?????Cn?
12rn二、新课导学 即 Cn?Cn?????Cn?????Cn?
※ 学习探究
探究任务一：杨辉三角
※ 典型例题 n问题1：在(a?b)展开式中，当n＝1，2，3，?10例1求?1?2x?的展开式中系数最大的项．
时，各项的二项式系数有何规律？
?a?b?1
2 ?a?b?
?a?b?3
11变式：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项?a?b?4
式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和
?a?b?5 最大的项. 6?a?b?
n 小结：在(a?b)展开式中， 要正确区分二项式系新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项二项式系数关系是 式系数和项系数的关系来达到目的. 探究任务二 二项式系数的性质 n(a?b)例2 证明：在展开式中,奇数项的二r问题2：设函数f?r??Cn，函数
项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
的定义域是 ，
17 2012年上学期学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 计数原理
13511变式：⑴ 化简:C11?C11?C11?????C11 ;
⑵ 求和：Cn?2Cn?2Cn?????2Cn.
小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.
※ 动手试试
练1. ① 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的
是第 项为 ；（用符号表示即可） ② 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大的是 第 项为 . （用符号表示即可）
100122nn
2. 在?1?x?的展开式中，二项式系数最大的是 第 项，项系数最小的项是第 项；
10918293. 计算3?3C10?3C10???3C10?1=
4. 若?1?2x??a0?a1x?a2x???a9x，则
29999a1?a2???a9＝ ；
01nCn?Cn?????Cn? 5. 化简：01n?1Cn?1?Cn?1?????Cn?1 课后作业 1. ⑴ 求??x3??展开式的中间一项； ??3x???12 ⑵ 求xy?yx展开式的中间两项.
727练2. 若?1?2x??a0?a1x?a2x?????a7x，
则a1?a2?????a7? ，a1?a3?a5?a7?
a0?a2?a4?a6? .
三、总结提升
※ 学习小结 ?对称性
?1. 二项式系数的三个性质 增减性与最大值n?2. 已知?1?x?的展开式中第4项与第8项的二项
?各二项式系数的和式系数相等，求这两项的二项式系数. ?
2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
※ 知识拓展
早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详 解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指 出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家 贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国 发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认 为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的， 他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三 角的发现要比欧洲早五百年左右. §1.3.3 二项式定理（练习）
??15 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
学习目标 1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质； 2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法；
3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况.
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1??1. 在?x??的展开式中，系数最大的项是
x??第 项；
12长春第二高中 高二数学◆选修2－3◆导学案 编写：崔文启 校审：翟志发
学习过程 一、课前准备 100（预习教材P36~ P37，找出疑惑之处） 变式：证明99能被1000整除. n复习1：⑴ (a?b)＝ r展开式中Cn叫做第 项的 系数，通项 公式是 ，展开式中共有 项. ⑵ 二项式系数的三个性质： 对称性是指 r增减性：当r满足 时，Cn是增函数； 最值：当n是偶数时，展开式中间项是第 项，656??x?12x?1例2 求展开式中x系数. 它的二项式系数有最 值为 ；当n是奇数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有 最 值为 ； 193复习2：求(x?)的展开式中x的系数及它的二 x 项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和 系数最大的项. 54 变式：求?1?2x??1?3x?展开式中按x的升幂排 列的第3项. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：整除性问题，余数问题 2008小结：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两问题：101除以100的余数是多少？ 个通项之积比较方便运算. 100 3例3 3x?2展开式是关于x的多项式，问新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开式中共有多少个有理项？ 展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。 这是解此类问题的最常用技巧，余数要为正整数. 2009试试： 8除以7的余数是 99反思：6除以7的余数是多少？ 1n 变式：已知(x?)的展开式中，前三项系数42x※ 典型例题 ????例1 用二项式定理证明：?n?1??1能被n整除. n2的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 19 2012年上学期学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 计数原理
※ 动手试试
练1. ?1?x???1?x???1?x???????1?x?展
2361??53. ?1??展开式的x系数是 ； ?2x?
4. 已知?x?1??ax?1?展开式中x系数是56，则实数a的值为 ；
245. 求(x?3x?4)的展开式中x的系数. 62103开式中x的系数（05湖南）.
122nn练2. 如果1?2Cn?2Cn?????2Cn?81，则
12nCn?Cn?????Cn＝ .
2 课后作业 10241. 求?1?x?x??1?x?展开式中的x的系数.
552. 用二项式定理证明55?9能被8整除.
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 利用二项式定理解决有关余数以及整除问题；
2. 掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用，并会求有理项问题.
※ 知识拓展
求证： Cn?2Cn?3Cn?????nCn?n?2证明：?Cn?Cn,Cn?Cn,???Cn?Cn
123nSn?Cn?2Cn?3Cn?????nCn
0n1n?1n0123nn?1.
＝0Cn?1Cn?2Cn?????nCn
012n?Sn?nCn??n?1?Cn??n?2?Cn?????0Cn
012n两式相加得2Sn?nCn?Cn?????Cn?n?2
?01n?nSn?n?2n?1
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. ?1?2x?展开式中各项系数的和是 ；
20092. 今天是星期三，再过8是星期 .
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《计数原理》复习
学习目标 1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质；
2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.
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