6（1） f?(x)?a?1， (x?b)21?9?a?,?2a?2?b?3,??a?1,??4于是?解得?或? 18b??1,?a???b??.?0,2??(2?b)3??因为a,b?Z，故f(x)?x?1. x?1??00（2） 在曲线上任取一点??x,x?由f?(x)?1?01??． x0?1??1知，过此点的切线方程为 (x0?1)2y??x02?x0?1?1??1?(x?x0)． 2?x0?1(x?1)0??令x=1，得y??x0?1?x0?1?，切线与直线x=1交点为??1,x?1?． x0?1?0?000令y=x，得y?2x?1，切线与直线y=x的交点为(2x?1,2x?1)． 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为
1x0?112?12x0?1?1?2x0?2?2． 2x0?12x0?1所以，所围三角形的面积为定值2.
【好题精练】
1?????2??1.5， 2. cos2x+cosx， 3. ???1,?2?, 4.?0,2???3,??, 5. ①②， 6. y=2x+3，??????7. 0，8. 1?4502， 9. 6， 10. cosx.
??2ex?(2ex)?(1?x)?2ex(1?x)?2(2?x)ex?,∴f?(2)=0. 11. （1）∵f?(x)????221?x(1?x)(1?x)??3?513（2）∵f?(x)?(x)??x??(lnx)???x2?1?,∴f?(1)??.
22x?3212. （Ⅰ）方程7x?4y?12?0可化为y?7x?3． 4b1?2a??，??a?1，1b?22当x?2时，y?，又f?(x)?a?2，于是?解得?
2x?b?3.?a?b?7，??44故f(x)?x?3． x3知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 x2（Ⅱ）设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y??1?45
??3?3??3?，即y?y0??1?2?(x?x0)y??x0????1?2?(x?x0)．
x0??x0??x0??令x?0得y???66?，从而得切线与直线x?0的交点坐标为?0，??． x0x0??令y?x得y?x?2x0，从而得切线与直线y?x的交点坐标为(2x0，2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x?0，y?x所围成的三角形面积为
16?2x0?6． 2x故曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?0，y?x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．
13. 由l过原点，知k=
y032
(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x0－3x0+2x0, x0∴
y02
=x0－3x0+2 x0y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2
又k=
y022
,∴3x0－6x0+2=x0－3x0+2 x02x0－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=
2
3 23 2333233∴y0=()－3()+2·=－
2228∴k=
y01=－ x04∴l方程y=－
133x 切点(，－) 428314.（1）80?cms；（2）512?cms
2第34课：导数在研究函数中的应用
一、课前热身
（1）(?1,11)（2）3??1，（3）＜，（4）m≥，（5）af(a)?bf(b)， 4
（6）2345
二、教材回归
1.（1）f'(x)?0,f'(x)?0；（2）必要不充分条件 2.（1）f'(x)?0,f'(x)?0；（2）f'(x)?,0,f'(x)?0 3.(1) ?a,b?;(2)端点处；f(a),f(b)。
三、同步导学
例1（Ⅰ）?f(x)定义域为?0,???
?f/(x)?1-lnxx2 ?f(1/e)??e 又 ?k?f(12e)?2e
?函数y?f(x)的在x?1e处的切线方程为：
y?e?2e2(x?1e)，即y?2e2x?3e
（Ⅱ）令f/(x)?0得x?e
?当x?(0,e)时，f/(x)?0，f(x)在(0,e)上为增函数
当x?(e,??)时，f/(x)?0，在(e,??)上为减函数
?fmax(x)?f(e)?1e （Ⅲ）?a?0，由（2）知：
F(x)在(0,e)上单调递增，在(e,??)上单调递减．
?F(x)在?a,2a?上的最小值fmin(x)?min{F(a),F(2a)}
?F(a)?F(2a)?12lna2 ?当0?a?2时，F(a)?F(2a)?0,fmin(x)?F(a)?lna
当2?a时F(a)?F(2a)?0，f1min(x)?F(2a)?2ln2a
例2 (1)依题有f(x)?1x3?x23，
故f'?x??x2?2x?x?x?2?.
由
x ???,0? 0 ?0,2? 2 ?2,??? 45
f'?x? + ↗ 0 极大值 － ↘ 0 极小值 + ↗ f?x? 得f?x?在x?0时取得极大值f?0??0，f?x?在x?2时取得极小值f?2???4.
3(2) 因为f'?x??x2?2ax?(a2?1)??x?(a?1)??x?(a?1)?， 所以方程f'?x??0的两根为a－1和a+1，
显然，函数f(x)在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.
因为方程f(x)=0有三个不等实根，
?1(a?2)(a?1)2?0,?f(a?1)?0,?3所以? 即? 解得?2?a?2且a??1.
?f(a?1)?0,?1(a?2)(a?1)2?0,?3故a的取值范围是(?2,?1)?(?1,1)?(1,2).
例3（1）由题意，g?(x)??1sin??x?1≥0在上恒成立，即1,???≥0． ??sin??x2xsin??x21 ∵θ∈（0，π），∴sin??0．故sin??x?1≥0在?1,???上恒成立， 只须sin??1?1≥0，即sin?≥1，只有sin??1．结合θ∈（0，π），得??
π
． 2
mx2?2x?mm?（2）由（1），得f(x)?g(x)?mx??2lnx．??f(x)?g(x)??． 2xx∵f(x)?g(x)在其定义域内为单调函数，
∴mx2?2x?m≥0或者mx2?2x?m≤0在[1，＋∞）恒成立． mx2?2x?m≥0
2x等价于m(1?x2)≥2x，即m≥，
1?x2 而
2x22?，（）max=1，∴m≥1．
1x2?1x?1x?xxmx2?2x?m≤0等价于m(1?x2)≤2x，即m≤2x在[1，＋∞）恒成立， 1?x2而
2x∈（0，1]，m≤0． 2x?1综上，m的取值范围是???,0???1,???． （3）构造F(x)?f(x)?g(x)?h(x)，F(x)?mx?当m≤0时，x?[1,e]，mx?m2e?2lnx?． xxm2e≤0，?2lnx?<0，所以在[1，e]上不存在xx一个x0，使得f(x0)?g(x0)?h(x0)成立．
45
m22emx2?2x?m?2e当m?0时，(F(x))'?m?2??2?．因为x?[1,e]，所以
xxxx22e?2x≥0，mx2?m?0，所以(F(x))'?0在x?[1,e]恒成立．
故F(x)在[1,e]上单调递增，F(x)max?F(e)?me?解得m?mm ?4，只要me??4?0，
ee4e． e2?14e,??)． e2?1故m的取值范围是(
【课堂互动】
1. (3,3)， 2. [?2,??) ， 3. ?5?a??16， 4. 0， 5. ．??33,33?
??6. 1）由g(?2)?g(1)?f(0)，得(?2b?4c)?(b?c)??3 ∴b、c所满足的关系式为b?c?1?0． （2）由b?0，b?c?1?0，可得c??1．
方程f(x)?g(x)，即ax?3??x?2，可化为a?3x?1?x?3，
令x?1?t，则由题意可得，a?3t?t3在(0,??)上有唯一解，令h(t)?3t?t3(t?0)，由
?5?63?22?1h?(t)?3?3t2?0，可得t?1，
当0?t?1时，由h?(t)?0，可知h(t)是增函数；
当t?1时，由h?(t)?0，可知h(t)是减函数．故当t?1时，h(t)取极大值2．由函数h(t)的图象可知，当a?2或a?0时，方程f(x)?g(x)有且仅有一个正实数解． 故所求a的取值范围是{a|a?2或a?0}．
（3）由b?1，b?c?1?0，可得c?0．由A?{x|f(x)?g(x)且g(x)?0}?{x|ax?3?且x?0}?{x|ax2?3x?1?0且x?0}．当a?0时， A?(1x3?9?4a,0)；当a?0时，
2a1A?(?,0)；
3当a??299时（??9?4a?0），A?(??,0)；当a??时，A?{x|x?0且x??}；
34445