第1章 习题解答
习题1.6
1.将下列命题公式用只含?，∧，∨的等价式表示。
⑴(p??q)→r??((?p∨?q)∧(q∨p))∨r?(p∧q)∨(?p∧?q)∨r ⑵?(p→(q?(q∧r)))??(?p∨((q∧q∧r)∨(?q∧?(q∧r))))
?p∧?(q∧r)∧(q∨(q∧r)) ?p∧(?q∨?r)∧q ?p∧q∧?r
⑶p?(p→q)?p?(?p∨q)
?(p∧?(?p∨q))∨(?p∧(?p∨q)) ?(p∧?q)∨?p ??p∨?q
⑷(p?q)?r?((p∧q)∨(?p∧?q))?r
?(((p∧q)∨(?p∧?q))∧r)∨(?((p∧q)∨(?p∧?q))∧?r) ?((p∧q∧r)∨(?p∧?q∧r))∨(((?p∨?q)∧(p∨q))∧?r) ?(p∧q∧r)∨(?p∧?q∧r)∨((?p∨?q)∧(p∨q)∧?r)
⑸(p?q)?(r→t)?((?p∨q)∧(?q∨p))?(?r∨t)
?((?p∨q)∧(?q∨p)∧?(?r∨t))∨(?((?p∨q)∧(?q∨p))∧(?r∨t)) ?((?p∨q)∧(?q∨p)∧(r∧?t))∨(((p∧?q)∨(q∧?p))∧(?r∨t))
2. 将下列命题公式用只含?，∨的等价式表示。 ⑴(p∧q)∧?p??((?p∨?q)∨p)
⑵p?q?(?p∨q)∧(?q∨p)??(?(?p∨q)∨?(?q∨p)) ⑶(p↑q)∧r??(p∧q)∧r??(?(?p∨?q)∨?r)
⑷p?q??(p?q)??(p∧q)∧?(?q∧?p) ??(?(?p∨?q)∨?(p∨q)) ⑸(p?q)∧r?(?p∨q)∧(?q∨p)∧r??(?(?p∨q)∨?(?q∨p)∨?r) 3. 将下列命题公式用只含?，∧的等价式表示。 ⑴?p∨?q∨(?r→p)
??p∨?q∨(r∨p) ??(p∧q∧?r∧?p)
⑵?(p∨q)→(?p?r)
?(p∨q)∨(?p∧r)∨(p∧?r)
??((?p∧?q)∧?(?p∧r)∧?(p∧?r))
⑶(?p∨?q)∨(p→?q)
?(?p∨?q)∨(?p∨?q) ??p∨?q ??(p∧q)
⑷(?p→q)→(p??q)
??(p∨q)∨?(p??q)
26
第1章 习题解答
?(?p∧?q)∨?((p∧?q)∨(?p∧q))
??(?(?p∧?q)∧?(?(p∧?q)∧?(?p∧q)))
⑸(p→(q∨r))∨(?p→r)
?(?p∨q∨r)∨(p∨r) ?T
4.下列结论是否成立？若成立，请证明。若不成立，举反例说明。 ⑴p↑q?q↑p
成立。p↑q??(p∧q)??(q∧p)?q↑p ⑵p↓q?q↓p
成立。p↓q??(p∨q)??(q∨p)?q↓p ⑶p↑(q↑r)?(p↑q)↑r
不成立。p↑(q↑r)?p↑?(q∧r)??(p∧?(q∧r))??p∨(q∧r)
?(?p∨q∨r)∧(?p∨q∨?r)∧(?p∨?q∨r)??4,5,6
而(p↑q)↑r??(p∧q)↑r??(?(p∧q)∧r)?(p∧q)∨?r
?(p∨q∨?r)∧(p∨?q∨?r)∧(?p∨q∨?r)??1,3,5
显然上式不成立
⑷p↓(q↓r)?(p↓q)↓r
不成立。p↓(q↓r)?p↓?(q∨r)??(p∨?(q∨r))??p∧(q∨r)
?(?p∧q∧r)∨(?p∧q∧?r)∨(?p∧?q∧r)?↖1,2,3
而(p↓q)↓r??(p∨q)↓r??(?(p∨q)∨r)?(p∨q)∧?r
?(p∧q∧?r)∨(p∧?q∧?r)∨(?p∧q∧?r)?↖2,4,6
显然上式不成立。 5.证明下列等价式。 ⑴?(p↑q)??p↓?q
证明：?(p↑q)??(p↑q)???(p∧q)?p∧q ?p↓?q ??(?p∨?q)? p∧q 所以：?(p↑q)??p↓?q ⑵?(p↓q)??p↑?q
证明：?(p↓q)???(p∨q)?p∨q ?p↑?q ??(?p∧?q)?p∨q 所以：?(p↓q)??p↑?q
6.将下列命题公式仅用“↓”表示。 ⑴?p?p↓p
⑵p∨q??(p↓q)?(p↓q)↓(p↓q)
⑶p∧q??(?p∨?q)? ?p↓?q? (p↓p)↓(q↓q) 7.将下列命题公式仅用“↑”表示。 ⑴?p??(p∧p)?p↑p
⑵p∨q??(?p∧?q)??p↑?q?(p↑p)↑(q↑q) ⑶p∧q???(p∧q)??(p↑q)?(p↑q)↑(p↑q)
27
第1章 习题解答
习题 1.7
1. 写出下列命题公式的对偶式。
⑴?(?p∧?q)∧r的对偶式是：?(?p∨?q)∨r ⑵(p∨?q)∧(r∨p)对偶式是(p∧?q)∨(r∧p) ⑶ p?q??(p?q)
??(p→q)∨?(q→p) ??(?p∨q)∨?(?q∨p) ?(p∧?q)∨(q∧?p)
所以p?q的对偶式是(p∨?q)∧(q∨?p) 而(p∨?q)∧(q∨?p)
?(?p→?q)∧(?q→?p) ??p??q ?p?q
???(p?q) ??(p?q)
所以p?q的对偶式是?(p?q) ⑷(p∧q)→r
??(p∧q)∨r ??p∨?q∨r
所以(p∧q)→r的对偶式是?p∧?q∧r ⑸(p∧q)↓r的对偶式是(p∨q)↑r ⑹(p↑q)→r??(p↑q)∨r
所以(p↑q)→r的对偶式是?(p↓q)∧r ⑺p→((q→r)∧(p∧?q))
??p∨((?q∨r)∧(p∧?q)) ?(?p∨?q)∧(?p∨?q∨r)
所以p→((q→r)∧(p∧?q))的对偶式是(?p∧?q)∨(?p∧?q∧r) ⑻(p?q)→r
??(p?q)∨r
??(p→q)∨?(q→p)∨r ??(?p∨q)∨?(?q∨p)∨r ?(p∧?q)∨(?p∧q)∨r
所以(p?q)→r的对偶式是(p∨?q)∧(?p∨q)∧r
2. 设p→q为公式，则q→p称为该公式的逆换式，?p→?q称为反换式，?q→?p称为逆反式。证明：
⑴公式与它的逆反式等价，即 p→q??q→?p 证明：p→q??p∨q
28
第1章 习题解答
而?q→?p???q∨?p??p∨q 所以p→q??q→?p
⑵公式的逆换式与公式的反换式等价，即 q→p??p→?q 证明：q→p??q∨p
而?p→?q???p∨?q?p∨?q??q∨p 所以q→p??p→?q
3.用真值表或等价演算证明下列蕴含式。 ⑴p∧q?p→q
证明：(p∧q)→(p→q)
??(p∧q)∨(?p∨q) ??p∨?q∨?p∨q ?T
所以，p∧q?p→q ⑵p→q?p→(p∧q)
证明：作(p→q)→(p→(p∧q))的真值表，如表1.53所示。
表1.53
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 p→(p∧q) 1 1 0 1 (p→q)→(p→(p∧q)) 1 1 1 1
由以上真值表可知：(p→q)→(p→(p∧q))是一个永真式，所以p→q?p→(p∧q) ⑶p??p→q
证明：p→(?p→q)
??p∨??p∨q ??p∨p∨q ?T
所以，p??p→q
⑷p→(q→r)?(p→q)→(p→r)
证明：(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))
??(?p∨?q∨r)∨(?(?p∨q)∨(?p∨r)) ?(p∧q∧?r)∨(p∧?q)∨?p∨r ?((p∧q∧?r))∨r)∨((p∧?q)∨?p)
?((p∨r)∧(q∨r)∧(?r∨r))∨((p∨?p)∧(?p∨?q)) ?((p∨r)∧(q∨r))∨?p∨?q
?((p∨r∨?p)∧(q∨r∨?p))∨?q ?q∨r∨?p∨?q ?1
29
第1章 习题解答
所以，p→(q→r)?(p→q)→(p→r) ⑸p∧(p→q)?q
证明：作(p∧(p→q))→q的真值表，如表1.54所示。
表1.54
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q 1 1 0 1 p∧(p→q) 0 0 0 1 (p∧(p→q))→q 1 1 1 1
由以上真值表可知：(p∧(p→q))→q是一个永真式，所以p∧(p→q)?q ⑹?q∧(p→q)??p
证明：作(p∧(p→q))→q的真值表，如表1.55所示。
表1.55
p 0 0 1 1 q ?q 0 1 0 1 1 0 1 0 p→q ?q∧(p→q) (?q∧(p→q))→?p 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
由以上真值表可知：(?q∧(p→q))→?p是一个永真式，所以?q∧(p→q)??p
4.用“假设前件为真，推证后件也为真或假设后件为假，推证前件也为假“的方法证明下列蕴含式。
⑴p∧q?p→q
证明：假设前件p∧q为真，证明后件p→q也为真。
因为p∧q为真，所以p为真并且q也为真，根据条件的定义可知p→q也为真。 所以，p∧q?p→q ⑵p→q?p→(p∧q)
证明:假设后件p→(p∧q)为假,证明前件p→q必为假；
因为p→(p∧q)为假，则p为真,q为假；根据条件的定义可知p→q也为假。 即：p→q?p→(p∧q) ⑶p??p→q
证明:假设前件p为真,则?p为假, 根据条件的定义可知?p→q必为真。 所以，原蕴含式成立。
⑷p→(q→r)?(p→q)→(p→r)
证明:假设后件(p→q)→(p→r)为假, 证明前件p→(q→r)必为假。
因为(p→q)→(p→r)为假，所以，p→q为真，p→r为假；因为p→r为假，所以p为真，
30