第一讲 集合的概念与运算技巧
【命题趋向】
1．高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集，全面考查集合与简易逻辑的知识，题型新，分值稳定．一般占5---10分．
2．简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起注意． 【考点透视】
1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义.
3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】
题型1． 正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
2
2
2
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．
y?x2?1,?x?0,?x?1, 点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组?或?得???y?x?1.?y?1, ?y?2.从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x＋1}、{y|y=x＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
例2.若P={y|y=x,x∈R}，Q={y|y=x＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ） A．P B．Q C． D．不知道
1
2
2
2
2
2
思路启迪：类似上题知P集合是y=x（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．
解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x,y= x＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y
2
2
22
≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．
2
2
例3. 若P={y|y=x,x∈R}，Q={(x，y)|y=x,x∈R}，则必有（ ） A．P∩Q=? B．P
Q C．P=Q D．P
Q
2
思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x,x∈R上的点的集合，
2
代表元素根本不是同一类事物．
解：正确解法应为： P表示函数y=x的值域，Q表示抛物线y=x上的点组成的点集，因此P∩Q=?．∴应
2
2
选A．
例4（2007年安徽卷文）若A?{x|x2?1}，B?{x|x2?2x?3?0}，则A?B= A．{3}
B．{1}
C．?
（ ）
D．{－1}
思路启迪：?A?{x|x??1,x?1}，B?{x|x??1,x?3},?A?B???1?. 解：应选D．
点评：解此类题应先确定已知集合． 题型2．集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例5. 若A={2，4, a－2a－a＋7},B={1, a＋1, a－2a＋2,－1 (a－3a－8), a＋a＋3a＋7}，且
3
2
2
2
3
2
2A∩B={2，5}，则实数a的值是________．
解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴a－2a－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素
3
2
是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
当a=1时，a－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1． 当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1． 当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设． 故a=2为所求．
例6. 已知集合A={a,a＋b, a＋2b}，B={a,ac, ac}．若A=B，则c的值是______． 思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
2
2
2
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：a＋ac－2ac=0， a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
2
2
∴c－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解． （2）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：2ac－ac－a=0， ∵a≠0，∴2c－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－1．
2
2
2
2
2点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正． 例7.已知集合A={x|x－3x＋2=0},B={x|x－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______． 思路启迪：由A∪B=A?B?A而推出B有四种可能，进而求出a的值． 解： ∵ A∪B=A， ?B?A,
∵ A={1，2}，∴ B=?或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=?，则令△<0得a∈?；
若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈?；
若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3． 综上a的值为2或3．
点评：本题不能直接写出B={1，a－1}，因为a－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况． 题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例8.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________． 解：任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)， ∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故A?B． ① 又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z), ∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故B?A ② 由①、②知A=B．
点评：这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9（2006年江苏卷）若A、B、C为三个集合，A?B?B?C，则一定有（ ）
3
2
2
A . A?C B .C?A C .A?C D . A?? [考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解：由A?B?B?C知，A?B?B,A?B?C?A?B?C，故选A.
（2007年福建卷文）已知全集U??12，2?，则A?CUB等于 （ C ） ，，3，4，5?，且A??2，3，4?，B??1
A．{2}
B．{5}
C．{3，4}
D．{2，3，4，5}
例10．（2006年辽宁卷）设集合A?{1,2},则满足A?B?{1,2,3}的集合B的个数是（ ）
A . 1 B .3 C .4 D . 8
[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.
解：A?{1,2}，A?B?{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A?{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22?4个.故选C. 例11．（2007年北京卷文）
记关于x的不等式x?a?0的解集为P，不等式x?1≤1的解集为Q．
x?1（I）若a?3，求P；
（II）若Q?P，求正数a的取值范围． 思路启迪：先解不等式求得集合P和Q． 解：（I）由x?3?0，得P??x?1?x?3?．
x?1（II）Q??xx?1≤1???x0≤x≤2?．
由a?0，得P??x?1?x?a?，又Q?P，所以a?0， 即a的取值范围是(2，??)．
题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例12. 已知A={x|x－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，则实数a组成的集合C是________． 解：由x－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．
这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=?时，仍满足A∪B=A，当a=0时，B=?，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
例13．（2007年北京卷理）已知集合A??x|x?a≤1?，B?xx2?5x?4≥0．若A?B??，则实数a的取
2
2
?? 4
值范围是 ．
思路启迪：先确定已知集合A和B．
解：A??x|x?a≤1???xa?1?x≤a+1?,B?xx2?5x?4≥0??xx≥4,x?1?. 3)． ?a?1?4,a?1?1.?2?x?3.故实数a的取值范围是(2，??例14. 已知集合A={x|x＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R?=?，则实数m的取值范围是_________． 思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R?=?可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
解：由A∩R?=?又方程x＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
2?????m?2??4?0,或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4
2
2
点评：此题容易发生的错误是由A∩R?=?只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=?漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言． 例15.已知集合A={x|x－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B
2
A，则实数p的取值范
围是________．
解：由x－3x－10≤0得－2≤x≤5． 欲使B
?2?p?1A，只须???3?p?3.∴ p的取值范围是－3≤p≤3． ??2p?1?52
上述解答忽略了\空集是任何集合的子集\这一结论，即B=?时，符合题设． 应有：①当B≠?时，即p＋1≤2p－1由B
p≥2．
A得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
p＜2．
②当B=?时，即p＋1>2p－1由①、②得：p≤3．
点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=?、A∪B=?，A这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 题型5．要注意利用数形结合解集合问题
B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例16.设全集U={x|0 思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出． 5 *