?星；到公元3500年，北极星将是仙王座? 星；公元13600年时，北天极将指向
[6]天琴座?星，如图6所示。
2.2地球章动分析
地球自转轴沿光滑圆锥面进动，是只单独考虑月球和太阳的作用，实际情况要复杂得多。对地球自转轴施加外力的不仅有月球和太阳，还有各大行星。日、月、行星的轨道各有各的平面。行星到地球的距离也变化多端，联合作用力的大小和方向是复杂多变的。加之地球本身不是严格的刚体，内部质量分布也不均匀，使得地球自转轴的空间运动也很复杂。天文学上把太阳和月球对地
球赤道隆起部分的吸引而引起的地轴长期运动成为日月岁差，而把其它复杂的摆动统归为章动。月球绕地球公转的轨道面（白道面）位置的变化是引起章动的主要原
?因，黄道面和白道面并非在同一个平面，两者有509'的交角，这个交角叫做黄白交
角。黄道和白道相交的两点叫做黄白交点。其中一个交点，即月球从黄道面下面向黄道面上面运行时所通过的一点，叫做升交点；反之，另一点叫做降交点。黄白交
??角是个可变值，它是在 451'?509'之间有规律地变化着。黄白交点在黄道上也是不
固定的，白道的升交点沿黄道向西运动，每月在黄道上向西退行106'，如图7所示，约18.6年绕行一周，因而月球对地球的引力作用也有同一周期的章动。在天球上表现为真天极在绕黄极运动的同时，还围绕其平均位置（平天极）做周期18.6年的的运动。同样，太阳对地球的位置也有周期性的变化，并引起相应周期的章动。由太阳和月球所引起的章动称为日月章动，由太阳系内其它行星的吸引所引起的章动称为行星章动。
2.3自转轴进动周期的近似计算
地球并不是理想圆球，它的两极是扁的，“赤道环”上聚集了一些“多余质量”，且黄赤交角为2326'，由于上述原因，太阳对地球上靠近它的一面引力比远离的那一面大，这样
?? 6
便产生了一个使地球自转轴进动的力矩。
假设地球的“多余质量”2?m地均集中在赤道的两个对称点上，如图8所示。根据万有引力定律，太阳对“远点”和“近点”质量?m地的引力大小分别为：
F?GM?m地(R??R)2 （1）
F'?GM?m地(R??R)2
（2）
其中G为引力常量，M是太阳的质量R为太阳到地球的距离，?R是?m地到过地心的黄道法线的距离。 利用展开式得:
1?1?x1?x2?x3???(?1)nxn??1?x (-1 11?1?x?1?xR???R因为，故可取1?x，1?x，所以得： F? F'?GMm地?RR1?R22?GM?m地?RR1?2R22?GM?m地?R1?2R2R （3） GMm地?RR21?R2?GM?m地?RR21?2R2?GM?m地?R1?2R2R （4） F与F'的合力矩为： ?? M?F'rsin23?Frsin23 ?2GM?m地2?R?rsin23RR2 4GM?m地r2sin23?cos23?=R3 （5） （式中r为地球半径） 7 3考虑到“多余质量”分布在赤道附近的环形区内，r的平均值略小些，可取2r， 仅冬至与夏至时力矩取最大值，春分与秋分时力矩均为零（当地轴从图3位置绕黄道法线转过90，春分与秋分时力矩获最大值，冬至与夏至时力矩取零），一年内可 ?13取平均值2，因此力矩的平均值约为（5）式乘以8 ，即： M?34GM?m地8R3r2sin23?cos23? 根据牛顿定律，太阳对地球的引力为 GMm地m地v2R2?R 由于地球绕行周期为一年，即 T'?2?RV=1(年) GM4?2由（7）（8）式可得：R3?T'2 把（9）式代入（6）式得： M?3(4?)2?m地r2sin23?cos23?8T'2 因地球质量近似呈球形分布，它的角动量为 J??25m222?4?1地r??5m2地rT\?5m地r2T\ （?是地球的自转角速度，T\是地球自转周期） 上述力矩仅改变地球角动量在轨道平面内的分量 方向，如图9所示，这就是地轴产生进动现象的 原因。根据角动量定理有： M?Jsin23?d?dt??'Jsin23??2?TJsin23? （12） 式中?'是地轴进动角速度，T是进动周期。 图9 地球力矩 8 （6） 7） 8） 9） 10） 11） （（（（（ 把（10）（11）式代入（12）式得： 3?m地1m地?cos23?252T\T 8T'8T'2m地T??15cos23?T\2?m地 （13） 其中“多余质量”（见图10阴影部分） 2?m地?m地4V??r'3V3 （V为地球体积,r'为地球半径） m地?2?m地V1.08?1012?434V??r'1.08?1012???6356.84333[7]?270 又因为T'?365.24T\，所以地轴进动周期为 图10 赤道截面 T?8365.24T\T'm地8?270?365.24T'??57000(年)?T\2?m地15?0.9215cos23 4这就是说，地轴每隔5.7?10年进动1周。上述计算只考虑到太阳的引力作用，实际上地球还受月球的引力作用，月球虽比太阳小，但离地球比太阳近得多，所以在地轴进动上，月球的引力要比太阳大得多。它对地球的引力矩的大小与太阳的影响在同一数量级，若把月球的影响也考虑在内，地轴的实际进动周期约为2.6?10年。其它行星也都对地球有作用力矩，但是，它们离地球远，质量又较小， 以致它们的作用力矩对地球的进动不起作用。地轴的进动主要是月球，其次是太阳对地球赤道隆起部分产生的力矩造成的。 3 岁差分析 如图11所示，以地球为中心作任意半径的一假想大球面称“天球”，地球赤道平面与天球相交的圆称为 “天赤道”，地球绕日公转的轨道平面与天球相交的圆称为“黄道”，天赤道与黄道相交于两点，太阳视行从天赤道以南进入天赤道以北与天赤道的交点叫春分点；太阳视行从天赤道以北进入天赤道以南与天赤道的交点叫秋 4分点。太阳从春分点出发，沿黄道运行一周回到春分点为一“回归年”。 9 如果地轴不改变方向，二分点不动，回归 年与恒星年相等。但地轴绕黄极缓慢进动，赤道面与黄道面的交线也以同一周期在黄道面上旋转，图12中的中心是黄北极，天北极以2326'为半径按顺时针方向绕黄 1位置时，春分点在?1位置，当它在P2位置时，春分点在?2 北极转动。当天北极在P?位置。即是说，由于天北极的移动， 春分点由?1移到 ?2，这个位移方向是自东向西的，称为春分点西移。 由图13可见，当太阳每年春分时离开春分点?作周年运动，一年之后返回的时候，春分点已从某一恒星位置r向西移动到另一恒星位置r'太阳回到新的春分点完成了一个回归年周期，所花时间比回到原来的恒星位置要短些，而回到原来恒星位置所花的时间才是真正地球公转的物理周期，称为恒星年，回归年 与恒星年的差值即为岁差。 由太阳和月球引起的地轴长期运动称为日月岁差。按角度计算，每26000差360， 1的值约为50\。按时间量计算，每约26000年差一年，每年5'35\左右，即日月岁差P?造成回归年比恒星年短20分24秒。除受到太阳和月球的引力外，地球还受到太阳系内其他行星的吸引。虽然行星的引力作用对地轴的进动不起任何作用，但是，它们对地球的公转有摄动的影响，使地球轨道平面即黄道面的位置有微小的改变，这不仅使黄赤交角改变，还使春分点沿赤道产生一个微小位移（其方向与日月岁差相 10