2012直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1．(2011·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( ) A．所有的直线都有倾斜角和斜率
B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角 [答案] B
[解析] 所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率．
2．已知直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则( )
A．b>0，d<0，a
11bd
[解析] 由图像可知－>－>0，－<0，－>0，从而c0.
acac
3．若直线2ax＋by＋4＝0(a、b∈R)始终平分圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是( )
A．(－∞，1] C．(0,1) [答案] A
[解析] 由题意知直线过圆心(－1，－2)， ∴－2a－2b＋4＝0，∴a＋b＝2， a＋b?a＋b?－2ab
∴ab≤＝，∴ab≤1.
22
4．已知直线l1∶y＝x，l2∶ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0，内变动时，a的取值范围是( )
A．(
3，1)∪(1，3) 3
B．(
3，3) 3
π)12
2
2
2
2
2
B．b>0，d<0，a>c D．b<0，d>0，a B．(0,1] D．(－∞，1) C．( 3，1) 3 D．(1，3) [答案] A ππππ [解析] 因为k1＝1，k2＝a，由数形结合知，直线l2的倾斜角α∈(，)∪(，)， 6443所以直线l2的斜率a∈( 3，1)∪(1，3)． 3 5．过点P(－1,2)且方向向量为a＝(－1,2)的直线方程为( ) A．2x＋y＝0 C．x－2y＝0 [答案] A [解析] 因为方向向量a＝(－1,2)， 所以直线的斜率k＝－2，又过点P(－1,2)， 所以由点斜式求得直线方程为2x＋y＝0. 6．(2011·山东济宁)已知点A(1,3)，B(－2，－1)，若直线l∶y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围( ) 1A．k≥ 2 B．k≤－2 1 D．－2≤k≤ 2 B．x－2y＋5＝0 D．x＋2y－5＝0 1 C．k≥或k≤－2 2[答案] D [解析] 如图，l过P(2,1)，kPA≤k≤kPB， 3－11kPA＝＝－2，而kPB＝， 1－221∴－2≤k≤. 2 7．过抛物线y2＝43x的焦点，且与圆x2＋y2－2y＝0相切的直线方程是( ) A.3x＋y－3＝0，y＝0 B.3x－y－3＝0，y＝0 C.3x＋y＋3＝0，3x－y＋3＝0 D.3x＋3y－3＝0，3x－3y－3＝0 [答案] A [解析] 抛物线焦点F(3，0)，圆的方程x＋(y－1)＝1，由图知过焦点F且与圆相切的直线有两条，其中一条是y＝0故排除C、D.另一条斜率小于0，故选A. 22 8．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则A.C. f?a?f?b?f?c?>> abcf?b?f?a?f?c?>> bac B. f?a?f?b?f?c? ，，的大小关系是( ) abc f?c?f?b?f?a?>> cbaf?a?f?c?f?b?>> acb D. [答案] B f?x? [解析] 作函数f(x)＝log2(x＋1)的图像，易知表示直线的斜率． x ∴ f?c?f?b?f?a? >>，故选B. cba 二、填空题 9．一条直线l过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________． [答案] 4x＋y－8＝0 xy [解析] 设l：＋＝1(a，b>0)． ab因为点P(1,4)在l上， 1414所以＋＝1.由1＝＋≥2 abab1 所以S△AOB＝ab≥8. 2141当＝＝， ab2 即a＝2，b＝8时取等号． 故直线l的方程为4x＋y－8＝0. 10．(2009·江西理)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题： A．M中所有直线均经过一个定点 4 ?ab≥16， ab B．存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)． [答案] BC [解析] 考查直线系方程及直线恒过定点问题． 因为xcosθ＋(y－2)sinθ＝1，所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d＝1. 即M为圆C：x2＋(y－2)2＝1的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以A错误． 又因为点(0,2)不在任何直线上，所以B正确 对任意n≥3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故C正确 M中的直线能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误， 故命题中正确的序号是B，C. 11．已知a∈R，直线(1－a)x＋(a＋1)y－4(a＋1)＝0过定点P，点Q在曲线x－xy＋1＝0上，则PQ连线斜率的取值范围是________． [答案] [－3，＋∞) x2＋1y－4?1?21??1－2?2 [解析] P(0,4)，设Q(x，y)，则y＝ (x≠0)，k＝＝??－4?＋1＝ ?x??x?xxx－3≥－3. 三、解答题 12．过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1∶2x－y－2＝0与l2∶x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程． [分析] 设点A(x，y)在l1上，则点A关于点P的对称点B(6－x，－y)在l2上，代入l2 的方程，联立求得交点，从而求得直线方程． [解析] 方法一 设点A(x，y)在l1上， x ＝3?x＋2 由题意知?y＋y ?2＝0 BB 2 ＝ cosθ＋sinθ 2 2 1 ， ∴点B(6－x，－y)， 解方程组? ??2x－y－2＝0 ??6－x?＋?－y?＋3＝0? ?x＝113得?16 y＝?3 16 －03，k＝＝8. 11－33 ∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 方法二 设所求的直线方程y＝k(x－3)，则 ??y＝k?x－3?? ?2x－y－2＝0? －2 ?x＝3kk－ 2 ，解得?4k y＝ ?k－2 AA ??y＝k?x－3?由? ?x＋y＋3＝0? 3k－3 ?x＝ ?k＋1 ，解得?－6k y＝??k＋1 BB ∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA＋yB＝0，即 4k－6k＋＝0， k－2k＋1 ∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8. 又∵当k＝0时，xA＝1，xB＝－3， 此时 xA＋xB1－3 ＝≠3，∴k＝0舍去， 22 ∴所求的直线方程为y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0. 方法三 设点A(x1，y1)在l1上，点B(x2，y2)在l2上，则 2x－y－2＝0 ??x＋y＋3＝0?x＋x＝6??y＋y＝0 1 1 21 221 2 ? ，解得?16 y＝?3 x1＝ 1 11 3 ?或?16 y＝－?3 x2＝ 2 7 3 1616－－33 ∴k＝kAB＝＝8， 711－33 ∴所求的直线方程为8x－y－24＝0. 13．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，经过原点O以u＝i＋mj为方向向量的直线与经过定点A(0,1)，以v＝mi－j为方向向量的直线相交于点P，其中m∈R，当点P变动时，试问是否存在一个定点Q，使得|PQ|为定值？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由． [解析] u＝i＋mj＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，