正方形的对角线与边不可公度的代数证明 定理
证明（反证法） 假定定理的结论不成立：即
2?pq。
2 是无理数.?
2不是无理数，而是有理数，
通过约分，我们一定可以得到p和q没有公因数.这样一来，p,q不会同时是偶数， 由于 p?平方得
p2?2q。
2q，
所以，p2是偶数，从而p也是偶数.设p=2r（r是整数），这时上式变为 ?
4r2?2q2
即 q2?2r2
这样，q2是偶数，从而q也是偶数，这与p,q不会同时是偶数相矛盾.假设
2是有理数导致了矛盾.因此，必须放弃
这个假设.定理证毕.?
这个证明可以在欧几里得的《几何原本》找到，实际上远在欧几里得之前就已经有了证明。这是间接证明的一个最经典的例子。
正方形的对角线与边不可公度的几何证明。
证明的基本思想是，从任一个正方形开始，我们可以构造一系列正方形，其中一个比一个小。
DD C JIEd1s1s2CHd2GFA 图1 B As1B 图2
如图2所示，在正方形ABCD中，令AB?s1，AC?d1。在对角线AC上，截取AE?s1。再作线段EF垂直AC于E，并交BC于F。容易证明
?BAF??FAE
因此，根据全等三角形对应边相等，我们有EF?FB。在直角三角形FEC中，
∠ECF?450 ，从而三角形FEC是等腰三角形，自然有CE?FE。 接着，我们构造第二个正方形CEFG，它以s2?CE?d1?s1为边，以d2?CB?FB?s1?s2为对角线。
这个过程可以永远重复下去，得到一系列越来越小的正方形，它们的边和对角线满足关系式：
sn?dn?1?sn?1,dn?sn?1?sn。
几何构造过程已经结束，现在证明正方形的边和对角线是不可公度的。仍用反证法。如果它们是可公度的，则一定存在一个更小的线段?，使得 于是，
s1?m1?,d1?n1?
s2?d1?s1?(n1?m1)??m2?
d2?s1?s2?(m1?m2)??n2?m2?m1,n2?n1。重复这个过程，就得到
这里
1???m3?m2?m1,1???n3?n2?n1
现在我们得到了矛盾。因为比m1和n1小的正整数只有有限个，这与几何构造过程的无限性相矛盾。