空间直线和平面
［知识串讲］
空间直线和平面： （一）知识结构
（二）平行与垂直关系的论证
1、线线、线面、面面平行关系的转化： 面面平行性质 ?//?????a,??????a?b?//b a a//b? ? b a??,b? ???? ?a//? a??,b?? A b ? a a?b?A a//?,b//? ???????公理4 (a//b,b//c a//c) 线线∥ 线面平行判定 线面平行性质 线面∥ ??//?面面平行判定1 面面平行性质 面面∥ 面面平行性质1 ?//???//????a??? ?????b?a//??a//b?//??a????? ??//? ?a//?
2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
??a?b?O? ?l?a,l?b?a,b???l?? ?????? a???a?? 面面⊥ 三垂线定理、逆定理 线线⊥ PA??,AO为PO在?内射影a??则a?OA?a?POa?PO?a?AOl??线面垂直判定1 线面垂直定义 线面⊥ ???面面垂直判定 面面垂直性质，推论2 ??a??? ?l?a ??????b??a?? a??,a?b??????????? ????a?? ?a?? 面面垂直定义 ????l，且二面角??l???成直二面角????? ?
3. 平行与垂直关系的转化：
a//b?a??a???a ???b?? a??????//? 线线∥ 线面垂直判定2 线面垂直性质2 a???b???线面⊥ 面面平行判定2 面面平行性质3 面面∥ ??a//b ?//??a???a???
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：
（三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （??0?时，b∥?或b??）
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°
2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”
即：（1）找出或作出有关的角；
（2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
【典型例题】
例. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（ ）
A.32B.102C.35D.25
分析：如图，取AB中点E，CC1中点F 连结B1E、B1F、EF 则B1E//AM，B1F//NC ∴∠EB1F为AM与CN所成的角
又棱长为1
?B1E?556，B1F?，EF?222
B1E2?B1F2?EF22?cos?EB1F??2BE?BF5 11
∴选D
例3. 已知直线l?平面?，直线m?平面?，有下面四个命题：
①??/??l?m ③l//m???? A. ①与②
B. ③与④
②????l//m④l?m??//?
C. ②与④
D. ①与③
其中正确的两个命题是（ ）
对于① 分析：
l???l???????l?m?//??m????①正确
l????对于②a????/l//m，如图m????
∴②错
对于③
l???m??????????l//m?m????③正确
l????对于④l?m??/?//?，如图m???? ∴①③正确，选D
∴④错
例4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。 证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO ∵底面ABCD是正方形 ∴点O是AC中点 又E为PC中点 ∴EO//PA
又EO?面EDB，且PA?面EDB ∴PA//面EDB （2）∵PD⊥底面ABCD ∴BC⊥PD
又BC?DC且PD?DC?D ∴BC⊥面PDC
∴BC⊥DE
又E为等直角三角形中点 ?DE?PC且PC?BC?C ∴DE⊥面PBC
∴DE⊥PB 又已知EF?PB且EF?DE?E ∴PB⊥面DEF
例5. 正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。
证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C 则AE?面B1BCC1，A1E1?面B1BCC1及EB1//E1C
AE?面B1BCC1?EB?BC1???1?E1C?BC1?AB1?BC1?EB1//E1C???A1C?BC1?AE?面BBCC1111?
注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例6. 下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。
（1） D1 P C1 M A1 B1 N l D C A B （2） D1 C1 A1 B1 l N （3） D1 C1 A1 P 1 B N l D C M A B
M D C P A B
分析：①l在侧面的射影显然与MP、MN垂直 ?MP?l，MN?l?l?面MNP
②显然l分别与MN在底面上射影垂直及与MP垂直 ?l?面MNP
③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直
∴l⊥面MNP
例7. 如图，斜三棱柱ABC?A'B'C'中，AC'?A'B，AA'?AC?8，AB?10， ∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。 （1）求证：面AA'C'C?面ABC； （2）求侧面AA'B'B的面积。