分析：要证明面AA'C'C?面ABC，只要证明BC?面AA'C'C，又BC?AC，只要
证明BC?AC'，故只要证明AC'?平面A'BC。
证明：（1）∵AA'C'C为菱形 ?AC'?A'C 又AC'?A'B?AC'?面A'BC?AC'?BC
又∠ACB=90°，即AC⊥BC ?BC?面AA'C'C 又BC?面ABC （2）作A'D?AC于D
?面AA'C'C?面ABC，AC为交线 ?A'D?面ABC
?面ABC?面AA'C'C
A'AC∠?60° ?∠A'AD为侧棱AA 与底面成的角，即
过D作DE?AB于E，连结A'E，则A'E?AB 又AD?8cos60??4，A'D?8sin60??43 ∴D为AC中点 在Rt?ABC中
?DEAD?BCAB?DE?4?612?105
?A'E?A'D2?DE2?(43)2?(1228)?2155
?S平行四边形A'ABB'?AB?A'E
?10?821?16215
例8. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图）。求： （1）C到A’D的距离； （2）D到平面A’BC的距离；
（3）A’D与平面A’BC所成角的正弦值。
解：（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角
又A’E⊥ED，CE⊥ED ∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED
作EF⊥A’D于F，连结CF，则CF⊥A’D ∴CF即为C点到直线A’D的距离
在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·ED
?EF?4?312?55
?FC?EF2?EC2?(122434)?42?55
?DE//BC，BC?面A'BC，DE?/面A'BC ∴DE//面A’BC （2） ∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离 过E作EM⊥A’C于M ∵ED⊥面A’EC 又BC//ED ∴BC⊥面A’EC ∴BC⊥EM ∴EM⊥面A’BC
∴EM为E点到平面A'BC的距离即为D点到面A'BC的距离且EM=22 或者用体积法： 由VD?A'BC11即S?A'BC?h?S?BCD?A'E?VA'?BCD 33
1BC?CE?A'ES?BCD?A'E2?h???221S?A'BCBC?A'C2
（3）设A'D与平面A'BC所成角为?
2）知D点到面A'BC的距离为h?22及A'D?5 又由（
?sin??h22?A'D5
例9. 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB?90°，AC?1，CB?2，侧棱
AA1?1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。
（1）求证：CD?平面BDM；
（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。
（1）证明：连结CA1，则CA1? 又D为A1B中点 易知AC?面BB1C1C
2?BC
?CD?BD①
?CB1是CD在底面BB1C1C上射影 故只要BM?CB1 设BM?CB1?E
在Rt?CBB1和Rt?BB1M中
BB1CB21???BB11MB122
又∠CBB1?∠BB1M?90° ?Rt?CBB1~Rt?BB1M
1?∠B1BM ?∠BCB 又∠B1BM?∠CBM?90°
1?∠CBM?90° ?∠BCB?∠CEB?90° ?BM?CB1?BM?CD②
由①②知CD?面BDM （2）解：?AB1?3?1?2 ?B1D?BD?BB1?1
2 即△B1DB为正三角形，取BD中点F，则B1F?BD
//1?NFCD2 又取BC中点N，连结NF 又CD?BD ?∠NFB1为所求二面角的平面角
?NF?BD
26又B1N?()?12?，CD?BC2?BD2?22
2212?12?12
?NF?13，B1F?22
136()2?()2?()2FN?FB?NB322cos∠NFB1??2??2?FN?FB3132??22 在△DCB1中由余弦定理
21
?所求二面角为??arccos33
【模拟试题】
一. 选择题
1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ） A. 成异面直线
B. 相交
C. 平行
D. 平行或相交
2. 已知直线a，b，平面?，?，?，有下列四个命题 ①a//?，a//???//?； ③a??，a????//?； 其中正确的命题有（ ） A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. 以上都不对
②?//?，??/???//?；
④a??，b??，a//b??//?
3. 边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，角B－AD－C的大小为（ ） A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
BC?1a2，这时二面
4. 设a，b是两条异面直线，P是a，b外的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 过P有一条直线和a，b都平行 B. 过P有一条直线和a，b都相交 C. 过P有一条直线和a，b都垂直 D. 过P有一个平面与a，b都平行
5. 若a，b是异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD=AC，BD=BC，则直线a，b所成的角为（ ） A. 90° 二. 填空题
6. 设正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则
（1）A点到CD1的距离为_____________ （2）A点到BD1的距离为_____________ （3）A点到面BDD1B1的距离为_____________ （4）A点到面A1BD的距离为_____________ （5）AA1与面BB1D1D的距离为_____________
7. 如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC中点，现沿AE、AF、 EF把它折成一个四面体，使B、D、C三点重合于G，则VA?GEF=_____________。
8. 把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角， 则点A到BC的距离为_________________。
B. 60°
C. 45°
D. 30°
D C A B D1 C1 A1 B1 9. 如图PA⊥⊙O面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是_____________。
10. 平面??平面?，其交线为l，A??，B??，AB与?所成角为30°，则AB与α所成角的取值范围是_____________。 三. 解答题
11. 四面体ABCS中，SB、SC、SA两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点。求： （1）BC与面SAB所成的角；
（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。
13. 在矩形ABCD中，已知
AB?1AD2，E是AD的中点，沿BE将△ABE折到△A'BE的位置，使
A'C?A'D。
（1）求证：平面A'BE?平面BCDE。 （2）求A'C和面BCD所成角的大小。
14. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1， （I）求VS?ABCD；
（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
【试题答案】 一. 1. C
2. C
3. C
AD?12。
4. C（当P点和直线a确定的平面?与b平行时，则过P点的直线与a不相交，∴B错，当P点在a或b上时，D不成立） 5. A