计算题
题型一：计算普通债券的久期和凸性
久期的概念公式：D??t?Wt
t?1N其中，Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。
久期的简化公式：D?1?y(1?y)?T(c?y)? Tyc[(1?y)?1]?y其中，c表示每期票面利率，y表示每期到期收益率，T表示距到期日的期数。
1凸性的计算公式：C?(1?y)2?(tt?1N2?t)?Wt
其中，y表示每期到期收益率；Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的平方，转换成以年为单位的凸性。
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例一：面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。
100?8%?4 实际折现率：?5% 每期现金流：C?22
息票债券久期、凸性的计算 时间（期现金流现金流的现值 权重 时间×权重 (t2+t)×Wt 数） （元） （元） （Wt） （t×Wt） 1 4 0.0401 0.0401 0.0802 4?3.8095 3.8095（） (1?5%)94.9243 2 4 0.0382 0.0764 0.2292 4?3.6281 (1?5%)2 3 4 4?3.4554 (1?5%)34?3.29084(1?5%)0.0364 0.1092 0.4368 4 4 0.0347 0.1388 0.6940 5 4 4?3.1341 5(1?5%)104?77.6064(1?5%)60.0330 0.1650 0.9900 6 104 0.8176 4.9056 34.3392 总计? 94.9243 1 5.4351 36.7694 即，D=5.4351/2=2.7176
利用简化公式：D?1?5%(1?5%)?6?(4%?5%)??5.4349（半年） 5%4%?[(1?5%)6?1]?5%即，2.7175（年）
36.7694/（1.05）2=33.3509 ；
以年为单位的凸性：C=33.3509/（2）2=8.3377
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利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（0.01%）时，该债券价格的波动
?利用修正久期的意义：?P/P??D*??y
D*?2.7175?2.5881（年）
1?5%
当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，
?P/P??2.5881?0.01%??0.0259%；
当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，
?P/P??2.5881?(?0.01%)?0.0259%。
12?凸性与价格波动的关系：?P/P??D*??y??C???y?
2
当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，
1?P/P??2.5881?0.01%??8.3377?(0.01%)2??0.0259%；
2
当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，
1?P/P??2.5881?(?0.01%)??8.3377?(0.01%)2?0.0676%
2
又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。
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题型二：计算提前卖出的债券的总收益率
?(1?r1)n?1?首先，利息+利息的利息=C???；r1为每期再投资利率；
r1??然后，有 债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格；
其中，
CFC1?(1?r2)?NF投资期末的债券价格：P??； ???tNN(1?r2)r2(1?r2)t?1(1?r2)N??N为投资期末距到期日的期数；r2为预期的投资期末的每期收益率。
例二：投资者用905.53元购买一种面值为1000元的8年期债券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为8%。如果债券持有到第6年（6年后卖出），且卖出后2年的到期收益率为10%，求该债券的总收益率。
解：
1000?12%8%C??60r1??4%r2??5%
222?(1?4%)12?1? 6年内的利息+6年内利息的利息=60????901.55元
4%??60?1?(1?5%)?41000 第6年末的债券价格=??1035.46元
5%(1?5%)4所以，
6年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01元
总收益=1937.01-905.53=1031.48元 半年期总收益率=12??1937.01?1?6.54%
905.53总收益率=（1+6.54%）2-1=13.51%
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题型三：或有免疫策略（求安全边际）
例三：银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购买一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期收益率为10%；求1年后的安全边际。
解：
?银行可接受的终值最小值：100×(1+8%)5=146.93万元； ?如果目前收益率稳定在10%：
触碰线：
146.93?100.36万元
(1?10%)48108?=104.53万元；
1?10%(1?10%)2 1年后债券的价值=100×8%+
?安全边际：104.53-100.36=4.17万元；
A
B触碰线
所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的104.53万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。
4104.53?(1?10%)债券年收益率=5?1?8.880
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