高二新课标版上学期期中测试题
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的。
1．已知直线L1与L2的斜率是方程6x2?x?1?0的两个根，那么L1与L2的夹角是（ ）
A．45°
B．60°
C．30° C．(0,2D．15°
（ ）
14a,0)
2．抛物线y?ax2(a?0)的焦点坐标是
A．(0,)
4aB．(0,?14a)
14a) D．(3．经过点M(26,?26)且与双曲线
x2x4?y23?1有共同渐近线的双曲线方程为 （ ）
x2 A．
6?y28?1
B．
y28?x26?1
C．
8?y26?1
D．
y26?x28?1
4．由点P（－1，4）向圆x2?y2?4x?6y?12?0引的切线长是
A．3
B．5
C．10
D．5
（ ）
5．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是随圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|， 那么动点Q的轨迹是 （ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
6．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属 板，每张面积分别为2m2、3m2，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金 属板可造甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用 料面积最省？
A．A用2张，B用6张 C．A用3张，B用5张 A．直线
B．椭圆
B．A用4张，B用5张 D．A用3张，B用6张
C．双曲线
- 1 -
7．动点P到直线x?5?0的距离减去它到M（2，0）的距离的差等于3，则点P的轨迹是
D．抛物线
（ ）
8．在同一坐标系中，方程a2x2?b2x2?1与ax?by2?0(a?b?0)的曲大致是 （ ）
A． B． C． D．
9．过双曲线2x2?2y2?1的右焦点且方向向量为(1,3)的直线L与抛物线y2?4x交于 A、B两点，则|AB|的值为
A．
837
22
C．
83
D．
1637
（ ）
B．
yb2216310．椭圆
xa??1(a?b?0)的半焦距为c，若直线y?2x与椭圆的一个交点的横坐标
恰好为c，则椭圆的离心率为
2212 （ ）
A．1?
103B．2? C．2?1 D．3?1
11．记定点M(3,)与抛物线y2?2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线L的距
离为d2，则当d1+d2取最小值时，P点坐标为 A．（0，0）
2 D．(,?8112)
（ ）
B．（1，2） C．（2，2）
12．对于抛物线y?4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ）
A．(??,0)
B．(??,2]
C．[0，2]
D．（0，2）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。） 13．设A、B两点是圆心都在直线x?y?0上的两个圆的交点，且A（－4，5），则点B的 坐标为 . 14．“神舟”五号飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球半径约为6370公里，飞
- 2 -
船近地点、远地点的距离分别为200公里、350公里，则飞船轨道的离心率为 . （结果用既约分数表示）
15．到定直线L：x=3的距离与到定点A（4，0）的距离比是 .
16．已知抛物线y?x2上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为 . 三、解答题（共74分） 17．（本小题满分12分）
已知双曲线过点P(?32,4)，它的渐近线方程为y??43x
32的点的轨迹方程是
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求 ∠F1PF2的大小.
18．（本小题满分12分）
如右图，圆C通过不同三点P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），已知圆C在点P的
切线斜率为1，试求圆C的方程.
19．（本小题满分12分）
已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A（4，m）到焦点的
距离为6.
（1）求此抛物线的方程；
（2）若此抛物线方程与直线y?kx?2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，
求k的值.
20．（本小题满分12分）
过抛物线y?4x焦点的直线L与这条抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点. （1）求△AOB的重心G的轨迹方程；
（2）当直线L的倾斜角为45°时，试在抛物线的准线上求一点P，使AP⊥BP.
- 3 -
221．（本小题满分12分）
如右图，A、B分别是椭圆
ya22?xb22?1(a?b?0)的上、下两顶点，P是双曲线
ya22?xb22?1上在第一象限内的一点，直线PA、PB分别交椭圆于C、D点，如果D恰
是PB 的中点.
（1）求证：无论常数a、b如何，直线CD的斜率恒为定值； （2）求双曲线的离心率，使CD通过椭圆的上焦点.
22．（本小题满分14分）
设x、y?R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量
a?xi?(y?2)j,b?xi?(y?2)j,且|a|?|b|?8.
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线L与曲线C交于A、B两点，设OP?OA?OB，是否存在这
样的直线L，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线L的方程；若不存在， 请说明理由.
参考答案
一、选择题：
1.A 2.C 3.D 4.A 5.A 6.D 7.D 8.D 9.B 10.C 11.C 12.B 二、填空题：
13．（5，－4） 14．三、解答题：
17．解（1）由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为?32的点P?的纵坐
标绝对值为42
5443 15．
x212?y24?1 16．
34
- 4 -
?42?4 ∴双曲线的焦点在x轴上，设方程
18a2xa22?yb22?1??????3分
∵双曲线过点P(?32,4)又?ba?43??16b2?1 ①
②
x2由①②得a?9,b?16，∴所求的双曲线方程为（2）证|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1·d2=32
229?y216?1????6分
又由双曲线的几何性质知|d1－d2|=2a=6????8分
?d1?d2?2d1d2?36 即有d1?d2?36?2d1d2?100??????10分
2222又|F1F2|=2c=10 ?|F1F2|2?100?d12?d22?|PF1|2?|PF2|2 △PF1F2是直角三角形，?F1PF2?90?????????????12分
18．解：设圆C的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，则k、2为方程x2?Dx?F?0的两根，
， ?k?2??D,2k?F,即D??(k?2),F?2k，又因圆过点R（0，1）故1+E+F=0，????4分
?E??2k?1,?圆的方程为x?y?(k?2)x?(2k?1)y?2k?0，圆心C的坐标 k?22k?1,)??????????7分 222k?1∵圆在点P的切线斜率为1，?kCP??1?，解得k??3??????11分
2?k22为(∴所求圆的方程为x?y?x?5y?6?0??????12分
219．解：（1）由题意设抛物线方程为y?2px，其准线方程为x??22P2，????2分
∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离
?4?P2?6?p?4 ∴此抛物线的方程为y2?8x????6分
?y2?8x22（2）由?消去y得kx?(4k?8)x?4?0??????8分
?y?kx?2
- 5 -