∵直线y?kx?2与抛物线相交于不同两点A、B，则有?解得k??1且k?0解得k?2或k??1（舍去） ∴所求k的值为2??????12分 20．解：（1）抛物线的焦点坐标为（1，0）
?k?0???0????10分
当直线不垂直于x轴时，设L：y?k(x?1),代入y2?4x 得k2x2?2(k2?2)x?k2?0????2分 ∵L与抛物线相交于两点，?k?0
设A(x1,y1),B(x2,y2)，根据韦达定理x1?x2??y1?y2?k(x1?x2?2)?4k2(k2?2)2kx1x2?1
y1?y2?k2(x1?1)(x2?1)??4????4分
24?x??2??33k设△AOB的重心G(x,y)，则?
?y?4?3k?消去k并整理得y?243x?89??????6分
当L垂直于x轴时，A、B的坐标分别是（1，2）和（1，－2） ∴所求轨迹方程为y?243x?89????????????????8分
（2）当直线L的倾斜角为45°时，k=1 ?x1?x2?6,y1y2??4 设抛物线的准线上一点P（－1，y0） ?AP?BP?y1?y0x1?1?y2?y0x2?12??1????10分
整理得
y1y2?y0(y1?y2)?y0x1x2?(x1?x2)?1??1 即
?4?4y0?y01?6?12??1 解之y0?2
∴所求点P的坐标为（－1，2）????????????12分 21．解：（1）设P点坐标为(x0,y0)，又A、B坐标分别是(0,a)、(0,?a)
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而D是PB的中点，∴D点坐标为(x02,y0?a22)，????????2分
把D点坐标代入椭圆方程，得：
(y0?a)a2?x0b22?4 ①
又
y0a22?x0b22?1 ②
由①②解得，y0?2a(y0??a舍去） x0?3b,?P点坐标为(3b,2a)????????????5分 y0?ax0a3ba3bya22故kPA??，直线PA的方程是y?x?a与?xb22?1联立，解得
C点坐标为(?3ba3a,)，又D点坐标为(b,)????????7分 2222∴C、D两点关于y轴对称，故无论a、b如何变化，都有CD//x轴，直线CD的斜率恒 为常常0.????????9分
（2）当CD过椭圆焦点(0,a2?b2)时，则a?b727222?a2,?b?34a，??10分
2双曲线中，c?a?b22?a，
∴双曲线的离心率e?ca?.????????????12分
22．（1）解法一：?a?xj?(y?2)j,b?xi?(y?2)j,且|a|?|b|?8，
∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8.????3分 ∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为
x212?y2162?1，??????5分
解法二：由题意知，移项，得
2x?(y?2)222?x?(y?2)22?8??????2分
x?(y?2)?8?x?(y?2)2，
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两边平方，得x2?(y?2)2?x2?(y?2)2?162x?(y?2)22x?(y?2)22?64，整理，得
?8?y，
两边平方，得4[x?(y?2)]?(8?y)，展开，整理得
222x212?y216?1.???5分
（2）∵L过y轴上的点（0，3），若直线L是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点. ∵OP?OA?OB?0，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，??????6分 ∴直线L的斜率存在，设L方程为y?kx?3,A(x1,y1),B(x2,y2).
?y?kx?3,?2由?x2消去y得：(4?3k2)x2?18kx?21?0.??????8分 y??1?16?12此时，??(18k)2?4(4?3k2)(?21)?0恒成立. 且x1?x2??18k4?3k2,x1x2??214?3k2.??????9分
?OP?OA?OB,?四边形OAPB是平行四边形，
若存在直线L，使得四边形OAPB是矩形，则OA?OB,即OA?OB?0.
?OA?(x1,y1),OB?(x2,y2),?OA?OB?x1x2?y1y2?0，??????11分
即(1?k)x1x2?3k(x1?x2)?9?0， 也即(1?k)?(?51622214?3k2)?3k?(?18k4?3k2)?9?0，
即k2?,解得k??5454.??????????????13分
∴存在直线L：y??
x?3，使得四边形OAPB是矩形.??????14分
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