习 题 十 三
13-1 求各图中点P处磁感应强度的大小和方向。
[解] (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：
?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0
4?a2B?对于导线2：?1??2??，因此B2?0
Bp?B1?B2??0I 4?a方向垂直纸面向外。
(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：
?0I?cos?1?cos?2? 4?a?I?I?对于导线1：?1?0，?2?，因此B1?0?0，方向垂直纸面向内。
24?a4?r?I?I?对于导线2：?1?，?2??，因此B2?0?0，方向垂直纸面向内。
24?a4?rB?半圆形导线在P点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的
圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即
1?0I?0I，方向垂直纸面向内。 ?22r4r?I?I?I?I?I所以，Bp?B1?B2?B3?0?0?0?0?0
4?r4?r4r2?r4rB3?(c) P点到三角形每条边的距离都是
d?3a 6?1?30o，?2?150o
每条边上的电流在P点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是
B0??0I?cos300?cos1500??3?0I 4?d2?a9?0I 2?a故P点总的磁感应强度大小为
B?3B0?方向垂直纸面向内。
13-1
13-2 有一螺线管长L＝20cm，半径r=2.0cm，导线中通有强度为I=5.0A的电流，若在螺线管轴线中点处产生的磁感应强度B＝6.16?10T的磁场，问该螺线管每单位长度应多少匝?
[解] 已知载流螺线管轴线上场强公式为
?3B??0nI2?cos?2?cos?1?
10104，cos?1?由图知： cos?2??10104，
?1O?2所以，B??0nI?10???2??， 2?104??所以，n?104B＝1000匝 10?0I313-3 若输电线在地面上空25m处，通以电流1.8?10A。求这电流在正下方地面处产生的磁感应强度。
[解]输电线可看作无限长直导线，直线电流所产生的磁场为：
B??0I 2?r4??10?7?1.8?103??1.44?10?5T
2??25
13-4 在汽船上，指南针装在距载流导线0.80m处，该导线中电流为20A。(1)将此导线作无限长直导线处理，它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北)为 0.18?10?4T。由于电流磁场的影响，指南针的N极指向要偏离正北方向。如果电流的磁场是水平的，而且与地磁场垂直，指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下，上述汽船中的指南针的N极将偏离北方多少度?
[解] (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为
?0I2?10?7?20B1??T?5.0?10?6T
2?r0.80(2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量B2垂直，指南针偏离正北方向的角度为?，则
B15.0?10?60??1531? tan????0.28B20.18?10?4设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为?1，
B2sin?1?B1sin?2
13-2
两边微分后可得
d?1B1cos?2? d?2B2cos?1为求?1的最大值?m，令
d?1?0，则有 d?2cos?2?0 ?2?因此 sin?m??2
B1?0.28 ?m?1608? B2
13-5 在半径为R和r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面线圈，通有电流I，方向如图所示。求中心O处的磁感应强度。
I [解] 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 RNI圆盘，设单位长度线圈匝数为n
N n?R?r建立如图坐标，取一半径为x厚度为dx的 圆环,其等效电流为:
OrxdxdI?jdx?dB0?NIdx R?r??0dI2x?0NIdx2x(R?r)R
所以B0??dB0??NI?0NIdx2x(R?r)r??0NI2(R?r)lnR r方向垂直纸面向外.
13-6 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I=5.0A，圆筒半径 R=1.0?102m如图所示。求轴线上一点的磁感应强度。
[解] 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元dl
dl则dI?I
?R则dl在O点所产生的磁场为
?dI?IdldB?0?022
2?R2?R又因，dl?Rd?
?dI?Id?所以，dB?0?02
2?R2?Rdl??yxdBdBx?dBcos?，dBy?dBsin?
13-3
半圆筒对O点产生的磁场为：
?0I 200?R?0I所以B只有y方向分量，即B?By?2，沿y的负方向。
?RBx??dBx?0，By??dBy???13-7 如图所示，长直导线通有电流I，求通过与长直导线共面的矩形面积CDEF的磁通量。
Idxl
[解] 建立如图所示坐标，在矩形面积上任取一微元dS，dS?ldx，设顺时针方向为正,则 长直导线形成的磁感应强度为:B?oaxbx?0I 2?x?0Ildx 2?xb?Il?Ilb???d???0dx?0ln
Sa2?x2?ad??B?dS?
13-8 长直导线aa?与半径为R的均匀导体圆环相切于点a，另一直导线bb?沿半径方向与圆环接于点b，如图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b流出。 (1)求圆环中心点O的B。
(2)B沿闭合路径L的环流?B?dl等于什么?
Laa?12R?O12003b4b?
[解] (1)B0?B1?B2?B3?B4 其中: B4?0 B1? B2??0I 4?R2?0I21?0I3I2l3? ,,B3?Il232R32R3故B2与B3大小相等,方向相反,所以B2?B3?0
13-4
因而B0?B1??0I,方向垂直纸面向外. 4?R2II)??0 33(2)由安培环路定理,有:
?B?dl??0?Ii??0(I?L
13-9 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共N匝，通以电流I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为 ???0NIhD1ln 2?D2D2D?r?1， 22dxxOx[证明] 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元dS?hdx 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r，
?B?dl?2?rB??0NI
B??0NI 2?rD12dΦ?BdS
所以 ???d???BdS??D2?0NI?hNID1hdr?0ln
22?r2?D2
13-10 试证明在没有电流的空间区域内，如果磁感应线是一些同方向的平行线，则磁场一定均匀。
[证明] 在B线同方向平行的磁场中，作如图的矩形回路abcda，其ab边与B线平行。由于回路中无电流，所以安培环路定理给出?B?dL?0
L又
Bbcdaacbcd?B?dL??B1?dL??B?dL??B2?dL??B?dL
Ladbc其中
?bB?dL及?B?dL因B?dl所以其值为零。
da故B?dL??L?abB1?dL??B2?dL?0
cd因为磁感应强度B是垂直于通过单位面积的磁通量即磁通密度，所以B线平行的磁场中，ab线上B处处等于B1，cd线上B处处等于B2，因此有
B1ab?B2cd?0
又ab?cd 所以B1?B2
由于矩形回路的位置和宽度不限，此式均可成立。所以，在没有电流的空间区域内，若B线是同方向平行的直线，则磁场一定均匀。
13-5