北京市东城区2002年初中升学统一考试
数学试卷答案及评分标准
第I卷 （选择题 40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号 答案 题号 答案 1 A 6 B 2 C 7 D 3 D 8 C 4 B 9 D 5 C 10 C 第II卷 （填空题32分，解答题48分）
二、填空题 （本大题共8小题 4分，共32分） 11．x＜3 15．35 18．y＝
12．31 16．3π
13．3x（x－2y） 17．①②④
2
14．50
128128x－x＋3或y＝－x＋x－3 55551 281 28 或y＝x－x＋1或y＝－x＋x－1
7777 三、解答题（本大题共6小题，共48分） 19．（本小题满分6分） 计算：
23?1－sin60°＋（－25）－
0
12 4 解：原式＝
?3?1??33……………………………………………………4分 ?1?22 ＝2．……………………………………………………………………………6分 20．（本小题满分7分）
已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥CD交于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠ABC．
求证：OB＝OC．
证明：∵ AO平分∠BAC，CD⊥AB于点O，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O， ∴ OD＝OE， …………………………………………………………………………3分 ∠ODB＝∠OEC＝90° ………………………………………………………………4分 ∠BOD＝∠COE．
∴ △BOD ≌△COE （ASA）． ……………………………………………………6分 ∴ OB＝OC． …………………………………………………………………………7分 21．（本小题满分8分）
在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a、b关于x的一元二次方程
x－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小的锐角的正弦值．
解：∵ a、b 是方程 x－x＋2m－2＝0 的两个根，
∴ a＋b＝m，ab＝2m－2． …………………………………………………………2分 在Rt△ABC中，由勾股定理得a＋b＝c． 而a＋b＝（a＋b）－2ab，c＝5， ∴ （a＋b）－2ab＝5． 即 m－2（2m－2）＝25．
解关于m的方程，得m1＝7，m2＝－3． ……………………………………………5 分 ∵ a、b是△ABC的两条直角边的长， ∴ a＋b＝m＞0．
因此 m＝－3不合题意，舍去．
∵ m＝7． ……………………………………………………………………………6分 当m＝7时，原方程为x－7x＋12＝0．
解这个方程，得x1＝3，x2＝4． ………………………………………………………7分
2
2
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2
不妨设a＝3，则sinA?a3?． c53． …………………………………………8分 5 ∴ Rt△ABC中较小锐角的正弦值为 22．（本小题满分8分）
某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，人场券分为团体票和零售票，其
2．若提前购票，则给予不同程度的优惠．在五月份内，团体票每张3312元，共售出团体票数的；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，
5中团体票占总票数的
团体票按每张16元出售，计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平?
解：设总票数为a张，六月份零售票应按每张x元定价． …………………………1分 五月份：团体票售出票数为
322?a?a， 535224a（元） 票款收入为 12?a?；………………………………2分
55111?a?a， 零售票售出票数为
23618 票款收入为 16?a?a（元）． ………………………………3分
63224?a?a， 六月份：团体票所剩票数为
5315464a?a（元） 可收入 16?． ……………………………4分 1515111?a?a 零售票所剩数为
23611a?x?ax（元） 可收入 ． ………………………………5分 66248641a?a?a?ax． …………………………………………6分 依题意，得 53156 解这个方程，得 x＝19.2．
答：六月份零售票应按每张19.2元定价． …………………………………………8分 23．（本小题 满分9分）
已知：如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两 点，弦DF、AB于点Ｈ，CF交AB于点E． （1）求证：PA·PB＝PO·PE；
（2）若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径为2， 求弦CF的长．
（1）证明：连结OD．
∵ AB是⊙O的直径，弦DF⊥AB于点F，
∴ ………………………………………………………………1分 ∴ ∠1＝∠2．
∴ ∠POD＝∠PCE． ………………………………………………………………2分 又∵ ∠DPO＝∠PEC． ∴ △PDO∽△PEC． ∴
PDPO?．即 PD·PC＝PO·PE． ………………………………………3分 PEPC 由切割线定量的推论，得 PA·PB＝PD·PC．
∴ PA·PB＝PO·PE． ……………………………………………………………4分 （2）解：由（1）知，AB是弦DF垂直平分线， ∴ ED＝EF． ∴ ∠3＝∠4． ∵ DE⊥CF，
∴ ∠3＝∠4＝45°．…………………………………………………………………5分 由 ∠5＝∠4＝45°．∠P＝15°， 得 ∠2＝60°
∴ ∠1＝60°． ………………………………………………………………………6分 在Rt△DHO中，由∠1＝60°，OD＝2， 可求得OH＝1，DH＝3． ∵ △DHE是等腰直角三角形，
∴ DE＝6． ………………………………………………………………………7分 由 ∠1＝∠2，∠DHO＝∠DEC＝90°．
得 △DHO∽△DEC． ∴
DHHO?． DEEC ∴
36?1． EC 解得 EC＝2． ……………………………………………………………………8分 ∴ CF＝CE＋EF＝CE＋DE＝2?6． ………………………………………9分 24．（本小题满分10分）
已知： 如图，一次函数的图象经过第一、二、三 象限，且与反比例函数的图象交于A、
1B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．OB＝10，tan∠DOB＝．
3 （1） 求反比例函数的解析式；
（2） 设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S 与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）当△OCD 的面积等于
S时， 试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线2段长能否等于3．如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由．
解：（1）过点B作BH⊥x轴于点H． ………………………………………………1分 在Rt△OHB中，
HO＝3BH． ……………………………………………………………………………2分 由勾股定理，得 BH＋HO＝OB． 又∵ OB＝10．
∴ BH＋（3BH）＝（10）．
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