则有
?1n?1nlimP???i??E?i????1. n??ni?1?ni?1?
§3.2常见的中心极限定理
定理 6（列维——林德伯格中心极限定理）
假设随机变量?1,?2,?是一系列独立同分布的随机变量,其数学期望E?k?a和方差D?k??2(?2?0),k?1,2,?,则对任意实数x,都有
?n???na?k??1k?1 limP??x??n??2???n??????x??edt??(x)
?t22我们又称定理6为独立同分布的中心极限定理,从这个定理可以看出正态分布在概率论中的特殊地位,不管?k呈何种分布,但只要n??,则有随机变量
??k?1nk?na?n~N(0,1)
.或者我们可以说,当n??时,对于一系列随机变量?k，只要满足独立同分布，则??k 近似地服从正态分布N(n?,n?2)。
k?1n 定理 7 （拉普拉斯中心极限定理）
假设随机变量Xn服从二项分布B(n,p),那么对于任意的有界区间[a,b],恒有表达式
limP(a?n??Xn?npnp(1?p)?b)?b?ba12?e?t22dt??(b)??(a)
成立，这就说明正态分布是二项分布的极限分布。
一般地,如果X?B(n,p),则
?a?npX?npb?np?P?a?X?b??P??? ??np(1?p)?np(1?p)np(1?p)?? 5
??(b?npa?np)??()
np(1?p)np(1?p)这个公式给出了当n较大时，关于二项分布的概率计算方法。
定理 8 （林德伯格定理） 假设?1,?2,?是一系列随机变量序列，且相互独立，而且还符合林德伯格的前提假设,则对任何存在的x,都有
?1n?limP????k?ak??x??n???Bnk?1?12??x??edy
?y22这个定理证明了以下结论：大量微小而且独立的随机因素引起并积累而成的变量,必将是一个正态随机变量。由林德伯格条件可看到定理并不要求各个加项“同分布”,因而它比前面的列维——林德伯格中心极限定理更全面,事实上列维——林德伯格中心极限定理可以由该定理推出。
说明：中心极限定理讨论的问题是独立随机变量和的分布的极限问题,通常在一定条件下,这些分布弱收敛于退化分布,我们称这就是大数定律。而中心极限定理要证明的问题是，随机变量和的分布与正态分布之间的关系，在其服从正态分布的基础上再来探讨需满足的条件。中心极限定理从根本上让我们认识了正态分布产生的源泉,因而可以把中心极限定理看作是正态分布解决各种实际问题的理论基础。
§4、大数定律的应用
§4.1大数定律在数学分析中的应用
§4.1.1 在积分方面的应用
我们知道有时候求积分，被积函数可能会比较复杂，原函数求不出来，然后用普通的近似方法也很难做到，这时我们就需要用到大数定律求解，以大数定律作为理论基础，通过近似求解可获得积分的近似值。
例1 令f?x?=e10-x221?2?则0?f?x??1，用随机投点法求f?x?在区间?0，上的积分J=?f?x?dx的近似值.
?上的均匀分布，则可知X服从解 ?X,Y?服从正方形?0?x?1, 0?y?11?上的均匀分布，Y也服从?0，1?上的均匀分布，且X与Y独立. ?0，又
记
事
件
1f?x?A=??Y1???f，X则
A的概率为
p=P?Y?f?X??=?0?0dydx=?f?x?dx=J，即定积分的值J就是事件A的概率p.
0 6
由伯努利大数定律，我们可以用重复试验中A出现的频率作为p的估计值。下面用随机投点法来得到A出现的频率：
?1?先用计算机产生?0, 1?上均匀分布的2n个随机数：xi，yi，i= 1, 2, ???, n，
这里不妨令n=104.
?2?对n对数据?xi , yi?，i= 1, 2, ???, n，记录满足不等式yi?f?xi?的次数，
就是事件A发生的频数?n，由此可得事件A发生的频率
又n=10时，模拟值?e4?nn，则J??nn.
1-x2202?dx=0.340698
那么所求近似值J=?f?x?dx?0.34
01
§4.1.2 在极限中的应用
在数学分析中，极限的证明通常也是比较困难的。虽然求极限的方法比较多，这里我们同样可以运用概率的方法。但是对于较为复杂的极限，概率方法往往难以求出结果，接下来我们就用大数定律来求解这一类问题。
例2
nn??假设Gn???x1,?,xn?:?xi2?,0?x1,?,xn?1?,求下面极限
2i?1??lim?...?dx1dx2...dxn
n??Gn解： 假设随机变量在[0,1]上服从均匀分布,而且相互独立,则有
211Var(?)?E??11312 ,
易见： ?...?dx1...dxn
Gn?P???1,?,?n??Gn?
n???P??12?...??n2??
2??1??1?P???12?...??n2???
2??n1??1?P???12?...??n2??E?12??
6??n?1n21??P???i?E?12??
6??ni?1
7
由?1,...,?n独立同分布可知,?12,...,?n2...独立同分布。
又根据辛钦大数定律可知：
?1n21?limP???i?E?12???1 n??6??ni?1从而, lim?...?dx1dx2...dxn?1n??Gn
例3 假设f?x?和g?x?是[a,b]上的连续函数,并且满足条件：存在常数 c>0, 使0?f?x??cg?x?,x??a,b?,试证明：
1nf??i??n1?limi?n??1ng??i??ni?1?f?x?dx
?g?x?dxabab证 假设?1,?2,?3,......是在[a,b]上服从均匀分布且独立的随机变量,令
1n1n?n??f??i??n??g??i?, n?1
ni?1ni?1
那么由大数定律知：
p?n???Ef??1??p?n???Eg??1?1bf?x?dx , ?ab?a1b?g?x?dx . b?a?a现证明：h??n,?n???n依概率收敛于h?y0,z0?, ?n其中 y??n,z??n,y0?Ef??1?,z0?Eg??1? . 由于 g?x??f?x??0 c可见 z0?Eg??1??0, 故h?y,z?在点?y0,z0?连续：
对任意的??0,存在??0,当y?y0??和z?z0??时,
h?y,z??h?y0,z0???.
8
??Ef??1????因此, P?n????
????nEg??1???Ph??n,?n??h?y0,z0??? ?P?n?Ef??1???,?n?Eg??1???
?????1?P?n?Ef??1????P?n?Eg??1???
????????nEf??1??由此可见： limP??????1
n????nEg??1????1n?f??i?ni?1?limnn??1?g??i?ni?1
?f?x?dx
?g?x?dxabab§4.2大数定律在生产生活中的应用
§4.2.1 误差方面的应用
下面我们介绍一下怎么利用大数定律解释测量随机误差。 理论基础：根据大数定律我们知道,对一系列随机误差?1,......?n ,有
1np?i???0． ?ni?11n 这意味着当n??时,测量结果的平均值a???i和实际真值a将无限的接
ni?1近,所以这样的方法是有理论依据的，一般都行得通。
例4 有一栋高楼需要我们测量其精确高度，现在利用某种仪器独立测量了n次，所得测量数据为x1,......xn,假定测量仪器没有系统误差,那么当测量次数足够
1n大即n??时,是否能近似把?(xi?A)2看作是这栋楼高度测量误差的方差?
ni?1解： 假设xi(i=1,2,?,n)为n次测量所得的结果,且满足
E?xi???,Var?xi?=?2，(i?1,2...n).
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