则第i次测量的误差xi?A的数学期望和方差分别为：
E?xi?A????A,
Var?xi?A?=?2，(i?1,2...n)
设Yi??xi?A?,i=l,2,?,n,则Yi也独立同分布。 在无系统误差条件下,E?xi?A??0,即有?=A.
2E?Yi??E??xi?A??
??2?E??xi?Exi???Var?xi???2（i=1,2?n）
??因而由切比雪夫大数定律可知：
?1n?limP??Yi??2????1 n???ni?1??1n?即 limP??(xi?A)2-?2????1
n???ni?1?1n所以当n??时,随机变量?(xi?A)2依概率收敛于?2,即当n??时,我们
ni?11n可以把?(xi?A)2近似看作是该模具测量误差的方差。
ni?12
§4.2.2 估计数学期望和方差
在分布型未知的情况下估计数学期望E???及方差Var???．
假设?及??k?都是随机变量,并且有：
1n1n2pp?i???E???,?i???E??2?, ??ni?1 ni?1结合大数定律，我们可以用统计量样本均值来近似估计期望，用样本二阶矩近似估计总体二阶矩，即：
1n2估计n较大1n估计n较大 ?Xi?????E??2??E????Xi???? ni?1ni?1 从而有
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21n2?1n?p2??????E??E????????i??i????Var??? ni?1n?i?1?21n2?1n?估计n较大由此得方差的估计： ?Xi???Xi??????Var??? ni?1?ni?1?2
§4.3大数定律在经济中的应用 §4.3.1 大数定律在保险业中的应用
大数定律不但在数学领域，生产生活方面有着重要应用，其在经济发展中的作用也是不容忽视的。大数定律在某些经济领域的作用人们已经熟知，并且极大地应用到现实的生活工作之中,例如其在保险业不断蓬勃发展壮大的过程中起到至关重要的作用，可以视为保险业存在的基石。大数定律在保险学上的应用包括保费的厘定，以及保险金的赔偿等等。关于保险金的赔偿其实是符合大数定律的，因为现实中每个人的保费是不同的，但是因为投保的基数很大，所以根据大数定律，每个投保户的平均赔偿金额将会稳定在某一数值附近。
例5 某公司准备为员工开办某年龄段的五年人寿保险业务，有2500人参加，若是参加保险者交保险金12元，若其在五年内死亡，则保险公司将支付赔偿金b元，已知在五年内处于该年龄段的健康人死亡的概率是0.002，那么：
?1?保险公司将赔偿金定为多少，才能使保险公司的期望盈利大于1万元； ?2?如果保险公司将赔偿金定为2000元，要使保险公司盈利2万元，每位参
保者至少应交保险金a为多少元？
?3?如果保险公司将赔偿金定为2000元，要使保险公司盈利的可能性大于
99%，每位参保者至少应交保险金a为多少元？
解 上述问题的解决方法如下：
?1?由于保险公司从每个人身上获得的收益为E?X?=12?0.002b，所以保险
公司从2500个人身上获得的期望收益应满足 2500?12?2500?0.002b>10000
从上述不等式可解出b<4000，即b<4000元时保险公司期望盈利可超过1万元.
?2?现在要确定a，而b=2000元是固定的，仍然用X表示公司从每个参保者
a?2000
身上获取的收益，那么X的分布律为
a X
Pk
0.998 0.002
期望收益 E?X?= 0.998a+?a?2000??0.002= a?4（元）
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要使保险公司期望盈利2万元，则应满足 2500?a?4?>20000
由此可推得a>12元
即赔偿金b=2000元时，要使保险公司盈利2万元，每位参保者至少应交12元.
?3?仍用随机变量X表示2500中的死亡人数，那么X服从B?2500,0.002?，
而要使公司盈利2万元 即 2500a?2000X>20000
2500a?2000025a?200==r3 等价于死亡人数 X<2000205ke-5<0.01 如果想让P?X
2000即赔偿金b=2000元时，要使保险公司盈利的可能性大于99%，每位参保者至少交纳17.6元.
说明：
1、理论依据：保险的赔偿遵从大数定律,即如果投保人数充分大,则平均赔偿率几乎恒等于一个常数。利用大数定律与中心极限定理计算相关事件的概率。
2、应用与推广 ：大数定律的一个重要应用是在保险学方面。基本原理是一系列相互独立随机变量的平均值几乎恒等于一个常数,这个常数就是它的数学期望,或者说一系列相互独立随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望，可以广泛应用于保险精算、资源配置等方面。
通过查泊松分布表可知
§4.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用
我们知道大数定律在许多领域有着重要的作用，不过目前为止,人们对其并没有充分认识,甚至在现实生活工作中，他们的所作所为已经不知不觉地暗含了大数定律,很多人自己没有发现而已。这其中就包括被我们经常忽略的大数定律在控制银行经营风险中的作用，通常我们这里指的银行是中小非国有银行。
大数定律在银行中的应用不怎么常见，没有像保险业中那样应用广泛。因为应用大数定律的银行一般都是非国有中小银行（这类银行本身数量就不多），再加上大数定律在银行中的应用领域比较有限，所以这就导致了大数定律在银行中的应用比较少见，这方面的体系也不完善。
这里在说明大数定律在银行体系中的应用之前，我们先来了解一下大数定律是如何在保险市场控制风险的。我们知道保险市场风险具有随机性,但是因为投保群体很大，所以运用大数定律，我们照样可以准确地计算出风险出现的概率，从而确定风险损失和经营成本。但是银行的信用风险受各种不确定性条件的影响，具有很强的离散性，不服从一种规律的分布状态。那么大数定律是怎样控制银行的经营风险的呢?
银行的经营风险更多情况下指的是贷款风险，即银行贷款出现坏账，从而导致银行亏损的情况。我们这里所讨论的大数定律控制风险指的就是这一情形。贷
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款是一个银行发展的必须途径，如果一个银行贷款业务运营的很好，那么可想而知该银行肯定发展欣荣。但是如果一个银行贷款业务出现问题，经常出现坏账，那这个银行的发展肯定受到影响，严重时甚至可能导致银行倒闭。既然这样，那我们只要杜绝了坏账不就行了吗？只要贷款不出现坏账那银行就不会亏损了。想法固然很好，但实际中，由于存在信息不对称以及其他一些不可预测因素，银行对每个借款人的信用不能清楚地掌握。就算某个人之前信用很好，但是我们不能排除他就不会因为某种原因携款跑路，所以银行无法做到杜绝坏账。
虽然不能杜绝坏账，但是银行可以事先对这一情况进行分析，利用大数定律预测坏账出现的概率，然后在制定相关的策略和贷款政策的时候，将这个事先预测的概率考虑进去，这样可以对坏账有一定的掌控，从而可以较好地控制银行经营风险。
然而要想利用大数定律来预测坏账出现的概率，银行贷款必须要满足两个条件：（1）每一笔贷款都必须是小额的；（2）借款的群体要足够大。第一个条件是要保证每一笔贷款不会对总体贷款平均结果产生影响，因为学过概率论的知道，如果总体里面有一项很大，那么这一项将影响总体平均结果的走向；其次，这个条件还能降低因借款人的道德风险给银行带来的损失，因为如果出现一笔大额坏账，那么银行将会严重亏损，对于规模较小的银行可能会直接倒闭。另外一个条件则是大数定律最本质的要求，因为只有在样本量很大的情况下大数定律预测的结果方才准确。这两个条件缺一不可，非国有中小银行只有同时达到这两个条件方才能保证贷款业务的欣荣。
接下来我们就举个例子来具体说明大数定律在银行中的应用。
例：某一非国有中小银行经营10万元贷款业务，贷款的年利率为10%，并且该银行根据过去的贷款信息结合大数定律估计出现坏账的概率为1?，现在该银行期望该项业务年收益1000万，问至少需要多少笔贷款？
解：假设总共有n笔贷款，用Y表示银行的收益 则 Y=n×(1-1‰)×10^5×10％-n×1‰×10^5 =9990n-100n =9890n
所以 Y≥10^7 即9890n≥10^7 得到 n≥1011.12
所以，至少需要1012笔贷款才能保证年收益1000万。 其实像这样的情况在温州中也是比较常见的，温州是全国第一个实行金融改革的城市，在改革的过程中，很多中小银行和农村信用合作社也做了相应的变革。就拿在贷款这一方面来说，许多中小银行和农村信用合作社在经营管理中很好地利用了大数定律，并结合自身的优势，灵活地经营这项业务，取得了不错的成绩。
§5、结束语
首先我们提出了常见的大数定律及相关的中心极限定理，然后讨论了它们的应用，具体包括数学分析，生产生活，经济领域，这可以为专业人员管理提供参考，对教学无疑也是非常有益的。通过大量样本的分析和预测，结合大数定律预测实验的期望结果，这对于在现实工作中的预测也很有参考意义。在当前的社会环境下，经济发展是重要问题。大数定律在经济学中的应用将会越来越为人们关注。
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§6、致谢
在写毕业论文的过程中，黎老师一直在给于我很多帮助，从一开始的跟我分析怎么写，跟我介绍参考文献，到后来帮我审查文章，纠正错误等等，最后论文才得以成形，在这里我要对老师说一声谢谢，老师您辛苦了。
参考文献
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Abstract: The law of large number,just as its name implies,means the stationary of its average results when
there has a huge sample data. And it plays an very important role in probability theory. And it is also very important to maths and living and economy. This paper introduces several common kinds of laws of large numbers and central limit theorem and analyzes their application in some important scopes through some examples,such as mathematical analysis, error forecasting, lottery school, the approximate calculation and the insurance industry and bank.And further clarifies the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value.
Keywords：Law of large numbers；Central limit theorem；Economic life；Application
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