第8章 第8讲 正、余弦定理应用举例
一、选择题
1．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高( )
A．20(1＋
33
) m B．20(1＋) m C．20(1＋3) m D．30 m 32
2．已知两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10°
3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处则这船航行的速度为( )
176172
A.海里/小时 B．346海里/小时 C.海里/小时 D．342海里/小时
224．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A．200 m B．300 m C．400 m D．1003 m 5．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为( )
40040032003200A. m B. m C. m D. m 3333
6．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10 km，甲船以每小时4 km/h的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
15015
A. min B. min C．21.5 min D．2.15 min 77二、填空题
1
7．在△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系式为S＝(a2＋b2－c2)，则角C为________．
48．一船以32 km/h的速度向正北方向航行，在点A望见航标灯M在船的北偏东30°方向上，15分钟后到点B望见航标灯M在船的北偏东60°方向上，则船在点B时与航标灯M的距离是________km.
1
9．从某电视塔的正东方向A处，测得塔顶仰角是60°，从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角是45°，A、B间距离是35 m，则电视塔的高度是________m.
10．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.
三、解答题
11．如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
12．如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
亲爱的同学请写上你的学习心得
2
第8章 第8讲 正、余弦定理应用举例
一、选择题
1．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高( )
A．20(1＋
33
) m B．20(1＋) m C．20(1＋3) m D．30 m 32
3)(m)，故选A. 3
[解析] 如图：h＝20tan30°＋20tan45°＝20(1＋
[答案] A
2．已知两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° C．南偏东10°
B．北偏西10° D．南偏西10°
1
[解析] 如图，∠CBA＝(180°－80°)＝50°， 60°－50°＝10°，故选B. [答案] B
23．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处则这船航行的速度为( )
176172
A.海里/小时 B．346海里/小时 C.海里/小时 D．342海里/小时
22[解析] 设船航行的速度为x海里/小时，则MN＝4x，在△PMN中PM＝68，∠MPN＝75°＋45°＝120°.
∠PNM＝45°，由正弦定理可得
MNMP68·sin120°MN17＝ ∴MN＝＝346(海里) ∴x＝＝6(海里/小时)，故选C.
sin120°sin45°sin45°42
3
[答案] C
4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A．200 m B．300 m C．400 m D．1003 m [解析] 如图，△BED，△BDC为等腰三角形BD＝ED＝600，BC＝DC＝2003.
在△BCD中，由余弦定理可得 6002＋?2003?2－?2003?23
cos2θ＝＝
22×600×2003
∴2θ＝30°，4θ＝60° 在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝2003×[答案] B
5．在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为( )
40040032003200
A. m B. m C. m D. m 3333[解析] 设塔高为h，则依题意，∠ADB＝60°，∠CAD＝∠CDA＝30°. 200222400在△ACD中，()＝h＋h－2h2cos120°，∴h＝(m)． [答案] A
sin60°3
6．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10 km，甲船以每小时4 km/h的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
15015
A. min B. min C．21.5 min D．2.15 min 77[解析] t h后，甲乙两船的距离为s2＝(6t)2＋(10－4t)2－2×6t×(10－4t)cos120° ＝28t2－20t＋100.
2055150∴当t＝＝ h＝×60＝ min时，甲乙两船的距离最近． [答案] A
1472×2814二、填空题
1
7．在△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系式为S＝(a2＋b2－c2)，则角C为________．
4
1111
[解析] S＝(a2＋b2－c2)＝×2abcosC＝abcosC 又∵S＝absinC
442211ππ
∴absinC＝abcosC，∴tanC＝1 ∴∠C＝. [答案] 2244
4
3
＝300 m 故选B. 2
8．一船以32 km/h的速度向正北方向航行，在点A望见航标灯M在船的北偏东30°方向上，15分钟后到点B望见航标灯M在船的北偏东60°方向上，则船在点B时与航标灯M的距离是________km.
[解析] 在△ABM中，∠BAM＝∠AMB＝30° 1
∴BM＝AB＝32×＝8(km)．
4[答案] 8
9．从某电视塔的正东方向A处，测得塔顶仰角是60°，从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角是45°，A、B间距离是35 m，则电视塔的高度是________m.
[解析] 如图，CO⊥平面OAB，设塔高为h，则 在Rt△BOC中，OB＝h/tan45°＝h[来源:学科网] 在Rt△AOC中，OA＝h/tan60°＝
3
h 3
在△AOB中，∠AOB＝150° AB＝35
由余弦定理可得AB2＝OB2＋OA2－2OA·OB·cos150° 133即352＝h2＋h2－2·h··h·(－) 解得h＝521. 332[答案] 521
10．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.
[解析] AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝[答案] 107 三、解答题
11．(2007·山东卷)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
1102＋202＋2×10×20×＝107(km)．
2
5
[解] 如题图，连结A1B1，A2B2＝102，
20
A1A2＝×302＝102，△A1A2B2是等边三角形，
60∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得
B1B22＝A1B12＋A1B22－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×102B1B2＝102.因此乙船的速度的大小为×60＝302.
20答：乙船每小时航行302海里．
12．(2010·陕西，17)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
2
＝200 2
[解] 由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB中，由正弦定理得
DBAB
＝，
sin∠DABsin∠ADB
AB·sin∠DAB5?3＋3?·sin45°5?3＋3?·sin45°
∴DB＝＝＝ sin105°sin∠ADBsin45°cos60°＋cos45°sin60°＝
53?3＋1?
＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
3＋12
BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得
1
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×＝900，
230
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．
30答：救援船到达D点需要1小时．
亲爱的同学请写上你的学习心得
6