始，建立起了关于数值的比例理论以及数的基本性质，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理.
例如欧几里得用归谬法证明了素数有无穷多个. 反证法的依据是逻辑学中的排中律。
哈代：“ 反证法是远比任何弃子术更高超的一种策略。棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。”
? 第10卷讨论无理数，重点研究了形如（其中a，b皆为有理线段）的无理量，并对所有25种可能的形式进行了分类.
? 后3卷是立体几何内容.第11卷给出了立体几何中一些概念的定义；第12卷用穷竭法证明了棱锥与棱锥、圆锥与圆锥、圆柱与圆柱以及球与球之间的体积比；第13卷论述正多边形的性质及其内接于圆时的性质、研究了如何将五种正多面体内接于一个球的问题，并依赖关于多面体各面角之和必小于3600的结论，证明了凸正多面体不多于5种.
? 以外，欧几里得还写了许多其他出色的著作.他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本： ? （１）《数据》（The Data）.这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共９５个问题；
? （２）《论图形的分割》（On Divisions of Figures）.研究将图形分割后成比例的问题，共有36个问题.
2.2.2 阿基米德的数学成就
? 阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古.
? 青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，阿基米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成为亚历山大学派最杰出的代表.他一直住在叙拉古.公元前212前，阿基米德死于士兵剑下，临死前他还在思考几何问题.
? 阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》.
? 这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思（Heath，1860～1941）所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑.解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情.”
? 对数学的贡献主要有： ? 在平面几何方面
? ①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得 ．
? ②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积.
? ③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的４／３. ? ④定义了螺线ρ＝aθ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为２πa的圆面积的１／３.
? ⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比.
? 在立体几何方面
? ①球表面积等于大圆面积的４倍.
? ②圆的外切圆柱体的体积是球体积的３／２，其表面积（包括上下底）也是球表面积的３／２.
? ③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积. ? ④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积. ? ⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积.
? ⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式.
? 此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等. 阿基米德是应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范.
? 设有半径为ｒ的球，圆锥和圆柱的高都是２ｒ，底面半径分别是2r与r.图是它的轴截面图. 考虑在三个立体上切下与Ｎ的距离为ｘ、厚为Δｘ的薄片，其近似体积为
? 球体：πｘ（２ｒ－ｘ）Δx ? 柱体： Δx ? 锥体： Δx
? 将球体和锥体的薄片挂在T点(TN=NS=2r)上，则它们关于支点N的组合矩为
? 把大量的这些薄片加在一起得
? 得
? ? ? ?
阿基米德关于圆的著作发表在单行本《圆的度量》中，全篇包括三个命题：
用“穷竭法”证明了圆面积公式；
断言圆与它的外切正方形面积之比为１１/１４； 推算出圆周率在223/71与22/7之间.
阿基米德用穷竭法解决了圆的面积与一个两条直角边分别等于其周长和半径的直角三角形的面积相等.
? 将运动观点引入数学，也是阿基米德数学思想的重要组成部分，这集中反映在《论螺线》一书中. ? 在这本书中，阿基米德从运动观点出发指出了螺线的定义，他说：“在平面上有一直线，把它的一个端点固定，使直线围绕定点作匀速运动，如果直线上有一点同时从定点开始，沿直线作匀速运动，那么动点最后将描出一条螺线.”用我们熟知的极坐标刻画，其方程即为ρ＝ａθ.
2.2.3 阿波罗尼斯与《圆锥曲线》
? 《圆锥曲线》共８卷，有４８７个命题，现存前７卷.第１卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质，在这一卷中，阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的作法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论.需要指出的是，阿波罗尼斯的方程是用几何语言叙述的.
? 第２卷讨论双曲线渐近线的作法、性质和共轭双曲线的性质；圆锥曲线的直径和轴的求法；有心圆锥曲线的中心的概念；怎样求作满足某种条件的圆锥曲线的切线.
? 第３卷讨论了切线与直径所围成的图形的面积；极点和极线的调和性质；椭圆和双曲线的焦点的性质.
? 第４卷讨论了极点和极线的其他性质；讨论了圆锥曲线相交的各种情况；证明了两条圆锥曲线至多有４个交点. ? 第５卷在尚存７卷中最富独创性，讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短线段，并给出了过一定点的法线的作图和计算.
? 第６卷讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的作图和性质. ? 第７卷讨论有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质.
? 总之，亚历山大时期出现了许多著名的数学家，他们的工作大大开拓了希腊数学的领域，正是由于这个时期的成就，希腊数学才能作为一个比较完整的体系截入史册.
? 在这一时期，定量研究有了很大进展，但并没有使偏重几何的方向发生逆转，算术和代数中，演绎式的逻辑结构始终没有建立起来，三角学的研究尚末摆脱天文学，这就决定了对于数的研究仍然是直观的、经验的，其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难.
2.3 希腊数学的衰落
? 希腊数学自阿波罗尼斯之后开始走下坡路，但在后来的岁月里也还是有一些数学成就值得人们去研究的. ? 1.代数大师丢番图
? (1)第一次系统地提出代数符号 ? (2)以高超的技巧解不定方程
? 2.托勒密 写成三角学的最早系统性论著《数学汇编》.在该书中有著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边乘积之和.
? 3.海伦、梅乃劳斯和帕普斯等人的工作
? 整个希腊数学的消亡是由于罗马人的入侵所导致的. ? 公元前146年，罗马人征服了希腊本土.
? 公元前４７年，凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及船队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬.
? 罗马统治者推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想象，使希腊数学蒙受了更大的灾难，查封学园、禁止学习研究数学，使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期.
印度的泰姬陵
3.1 印度的数学
? 印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右.从5世纪始，印度文明又不断受到其它民族的侵占，多民族的文化在这里交融，这就孕育了印度数学的繁荣.
? 大约在５０００年前印度人就兴建起了具有相当规模的城市与宫殿，并且有了书写、计算和度量衡的体系.由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象，编造历书，因而带动了数学研究.
? 公元３世纪至１２世纪是印度数学的繁荣时期，而其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家兼数学家.他们主要是：阿耶波多（Aryabhata，约476～550）、婆罗门笈多（Brahmagupta，598～665）、摩诃毗罗（Mahavira,850年左右）和婆什迦罗（Bhaskara,1114～1185）．
阿耶波多，又译圣使，出生于华氏城（今称巴特那）. 其著作有《阿耶波多文集》，其中有一章专讲数学 ，介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，他得出了圆周率为3．1416的较好的近似值.
婆罗门笈多，又译梵藏.其著作《婆罗门修正体系》，包括“算术讲义”、“不定方程讲义”等章，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容，并讨论了二次方程，线性方程组及一次和二次不定方程的解法.还利用 内插公式造了一张正弦表。特别是该著作曾译成阿拉伯文，对伊斯兰教国家的数学