4.1.5 数学教育的开始
? 《周礼·地官》中保氏称：“保氏掌谏王恶，而养国子以道.乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数.”
? 其中礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺，前者为大学所授，后者乃小学所习.并称：“六年教之数（shǔ），十年学书计.”
? 由此可见,早在周代国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一.对数学教学如此重视，且以典制的形式规定下来，这在世界历史上是罕见的.
4.2 汉唐时期——中国传统数学体系的形成
? 从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成. 4.2.1 《周髀算经》和勾股定理 ? 《周髀算经》
? 该书原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周（公元前11世纪-公元前8世纪）.这是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用.
? 卷首记述：“昔者周公问于商高曰：……古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方.圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以为勾广三，股修四，径隅五.……故禹之所以治天下者，此数之所生也.”接着又借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下为勾 ，日高为股.勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日.” ? 这就是我国有关勾股定理的最早记录.
? 中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的.
? 赵爽是中国历史上首次对《周髀》 进行认真研究和注释的学者.他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图.其中最为精彩的是 “勾股圆方图注”:
? 此外，在《周髀算经》中还介绍了许多种利用勾股定理进行测量的方法，如测量太阳的直径、太阳的高等.同时，在勾股测量与计算中，还涉及到十分复杂的分数计算，这在以前的著作中是没有的.
4.2.2 《九章算术》
? 标志着中国传统数学理论体系的形成. ? 该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元一世纪初.
? 中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功.也许正是这种原因，决定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系.
? 全书采用问题集的形式，每题大致由“问”、“答”、“术”三部分组成，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则。 ? 全书共有246个应用题。大多数都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题.
? 这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章.
第一章.“方田”
? 本章主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则.其中，平面图形有方田（长方 形田地）、圭田（三角形田地）、邪（斜）田（直角梯形田地）、箕田（ 等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（说法不一，未有定论）、弧田（弓形田地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算法，除宛田、弧田是近似计算方法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的.分数运算法则包括约分术（约分与通分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（两个分数的大小比较）、平分术（求几个分数的算术平均值）、乘分术（分数乘 法）、经分术（分数除法）和大广田术（带分数除法），这些算法也都是正确的，且与现今的计算方法在理论上是一致的.
第二章.“粟米”
? 该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦 、面、饭等之间的
兑换比率及四项比例算法.四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数＝（所有数×所求率）／所有率，这里，所有率、所求率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词.如“已知麦与米的比率是３∶２，现有麦子６０斤，问能兑换大米多少斤？” 在这个问题中，所有率是麦子的比率３，所求率是大米的比率２，所有数是已有麦子的斤数，所求数就是欲求的大米斤数，这样，按上述公式，能兑换大米的斤数为（６０×２）÷３＝４０(斤)，《九章算术》还将这一算法用于解决一些更复杂的问题. 第三章.“衰分”
? 主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关.
? 例如:“今有大夫、不更、簪niao 、上造、 公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各几何？” ? 分配原则是“位高者多得，位卑者少得” 第四章.“少广”
? 主要成就包括开平方、开立方的算法. 第五章“商功”
? 主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题. 第六章“均输”
? 主要论述较为复杂的配分比例问题.其中最引人注目的是“均输术”.这是我国古代实行的“均输制”在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题. 第七章“盈不足”
? 主要论述盈亏问题的解法.盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱;若 每人出a2(a2
? 这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法.
? 例如“双鼠穿垣”题
第八章“方程”
? 主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元.在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”.
? “方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究.
第九章“勾股”
? 主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量. 4.2.2 刘徽和祖氏父子
? 刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），生卒年月不详，他年轻时十分好学，尤其喜爱数学.公元263年（魏陈留王景元四年），刘徽的《九章算术注》问世， 书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献.
? 在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论.他的分数的意义、表示 方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平.他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等. ? 在代数方面，给线性方程组解法以及正负数加减运算这两项算法以完整的理论说明，给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理. 并把正与负看成是相对存在的数的两种情况，并把数的正负与加减运算关系统一起来.还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释.此外，他由取 平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法.
? 在几何方面，以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明， 这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法 ”等等.
刘徽对球体积计算的研究
? <九章算术>少广章的“开立圆术”给出的球体积(V3)计算方法相当于公式
(这里的D为球直径)
? 刘徽对这一公式的正确性产生了怀疑，他使用截面法进行验证，发现内切圆柱的体积（V2）与正方体的体积（V1）之比为 ，在《九章算术》取的情况下，只有在内切球与圆柱的体积之比也是 时，上述近似公式才成立，而实际上后者是不成立的.为此，刘徽又以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”（如图 )证明内切球与“牟合方盖” 的体积之比为 而明显地可以看出，“牟合方盖”
的体积比圆柱要小， 故上述公式是错误的.
? 显然，如果能求出牟合方盖的体积，球的体积就自然可以求出了，但对于牟合方盖的体积如何求出，刘徽百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俟能言者”. 祖氏父子对球体积计算的贡献
? 祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索.经父子两代人不懈的努力，终于由祖日恒解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3.
? 祖日恒还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题：“缘幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等.
4.2.3 《算经十书》
? 从隋开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高学府——国子监中，设立算学科，专门从事数学教学.
? 唐在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科。
? 明算科设有算学博士与算学助教各二人，并招收算学生80人.
? 由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》和《缉古算经》，这就是历史上著名的“算经十书”，其记载了汉唐的数学成就，并成为后人数学教学与研究的重要源泉.
4.3 宋元时期——中国传统数学的兴盛
? 这一时期包括宋元两代，即900年至1368年.众所周知，宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后，出现了社会稳定、生产发展、经济繁荣的景象。
? 统治者鼓励发展科学技术，同时改革旧的科举制度，极大地推动了科学文化技术的发展.闻名于世的中国古代“四大发明”中的指南针、火药和活字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获得广泛的应用的.
? 到了元代，蒙古骑兵占领了欧亚广大地区，促进了中外交流，印刷术的发展也推动了数学教育与研究，再加上前一时期数学知识的大量积累，诸多因素的汇集，促使中国以算筹为主要工具的传统数学出现了极其辉煌的成就，到达了兴盛时