泰勒公式的几种证明及应用
摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归纳法对带有佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明，从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分别给出例题.
关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 积分型余项 应用
Several Proofs and Applications of Taylor Formula
Abstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role in
theoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.
Keywords: Taylor formula; Peano remainder term; Lagrange remainder term; Integral remainder term;
application
1. 引言
大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用f(x)?f?(x0)(x?x0)这个(x?x0)的一次多项式近似代替f(x)且求其在x0附近的函数值是很方便的，但是
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它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于
(x?x0)的n次多项式.由此，著名数学家泰勒在1912年7月给其老师梅钦的信中提出了著名的定理——泰勒定理，用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较复杂函数这类复杂的问题.
2.泰勒公式的证明
泰勒公式有几种不同的形式，在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式
定理1[1] 若函数f在点xo存在直至n阶导数，则有
f???x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??o?x?x0???
2!n!n??证：设
f???x0?f???x0?2n（1） Tn?f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0?
2!n!nRn?f?x??Tn?x? 现在只要证 limQn(x)??x?x0?
nRn?x??0
x?x0Q?x?nn由关系式（1）可知Rn?x0??Rn??x0????Rn???x0??0 n?1并易知Qn?x0??Qn??x0????Qn???x0??0, Qn?n??x0??n!
因为f?n??x0?存在，所以在点xo的某邻域U?x0?内f存在n?1阶导函数.于是，当
x?U??x0?且x?x0时，允许接连使用洛必达法则n?1次，得
n?1Rn?x?Rn??x?Rn???x?到 lim ?lim???lim?n?1?x?x0Q?x?x?x0x?x0Q?x?Qn??x?nnf?n?1??x??f?n?1??x0??f?n??x0??x?x0? ?lim
x?x0n?n?1??2?x?x0? 2
?f?n?1??x??f?n?1??x0??1?n??f?x0???0 ?lim?x?x0n!x?x0????所以有
f???x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??o?x?x0?
2!n!n??则此式得证.
2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式
定理2[2] 设函数f在某个包含x0的开区间(a,b)中有1到n+1阶的各阶导数，则
?x??a,b?，有
f???x0?f???x0?2nf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0?
2!n!nf?n?1????n?1 ? ?x?x0? （2）
?n?1?!其中?是介于x0与x之间的某个点，当x0固定之后，?只与x有关. 证：(2)式可以改写成
nf???x?xn?1?f???x0?f???x0?2n?? ?f?x???f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??0??n?1?!2!n!?????n?1?或者
Rn?x??x?x0?n?1f(n?1)????. （3） ?n?1?!为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出
nRn?x0??Rn??x0????Rn???x0??0）：
Rn?x??x?x0?n?1?Rn?x??R?x0??x?x0?n?1????1?Rn?n?1???1?x0??n
????1??Rn??x0?Rn????2?Rnn?n?1???2?x0???
n?1?n?1???1?x0?n
?????2??Rn???x0?Rnn?n?1???2?x0?n?1 3
Rn?n???n? ?2?3?n?n?1???n?x0?Rn?n???n??Rn?n??x0?? 2?3?n?n?1???n?x0?
Rn?n?1???? ? （4）
?n?1?!在此推导过程中，?，?1是介于x0与x之间的某个点；?2是介于x0与?1之间的某个点，
?是介于x0与?n之间的点.因而，?介于x0与x之间. 又注意到 Rn?n?1?????f?n?1???? ，
所以（4）式就可以得到（3）式 ，进而推出（2）式. 即定理得证.
在这里定理1和定理2我们都是用分析法来证明的，实际上，我们还可以用递推法或数学归纳法来进行证明，下面的定理3我们就是用数学归纳法来证明的. 2.3带有积分型余项的泰勒公式
定理3[3] 设函数f?x?在点x0的某邻域U?x0?内有n+1阶连续导函数，则
f???x0?f???x0?2nf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0?2!n!n?1x?n?1?nftx?tdt ，t?[x0,x]. （5） ?????x0n!证：从已知条件可知f,f?,?,f?n?1?在[x0,x]上是连续的.
那么我们有f?x??f?x0???f??t?dt （6）
x0x在（6）中令u?f??t?,v??(x?t) 则du?f???t?dt,dv?dt.利用分部积分公式 我们就有?f??t?dt?uv|??vdu??f??t??x?t?|??x0xx0x0xx0xxxx0 ?x?t?f???t?dt （7）
xx0结合（6）式和（7）式得到f?x??f?x0??f??x0??x?x0????x?t?f???t?dt
这就是n?1时的情形，符合公式（5）.我们同理可容易看出n?2时也成立. 假设n?1（此时指的是n?2的情形）时仍然可以得到（5）式是成立的， 即是有
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f???x0?f?n?1??x0?2n f?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0?
2!?n?1?!?x1n?1?n? x?tf???t?dt （8）?x0?n?1?!在（8）式中令u?f?n??x?t?dt(x?t)n?n?1?du?ftdt,dv?t,v?? 则. ????n!?n?1?!nxn?1利用推广分部积分公式我们就有
?x?t??x?n?1?!x0n?1f?n??t?dt??f?n??t??x?t?n!??x0x?x?t?n!nx0f?n?1??t?dt
?f?n??x0??x?x0?n!n??x?x?t?n!nx0f?n?1?（9） ?t?dt
将（9）式代入（8）式得到（5）式，即在n的情形下（5）式仍然成立. 故证得此泰勒公式成立.
定理3运用分部积分法的推广公式结合数学归纳法来证明的，但实际上定理3也是可以用分析法来证明的.
经过三个定理的证明我们可以清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式是可以相互转化的，例如：在定理3中存在??(x0,x)有由推广的积分第一中值定理得到
1x?n?1?1n???x?t?dt=R(x)??ff(n?1)(?)(x?x0)n?1.这就转化成了定理2中的余?n!x0(n?1)!项形式，这就是说带有积分型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式是可以相互转化的，经过实际演算我们还可以很容易地得到其它几种型余项的泰勒公式之间的相互转化.那么也可以说只需要知道其中一种余项的泰勒公式的证明，我们就可以轻松证明出其它型余项的泰勒公式，当然这其中也包括很重要的带有柯西型余项的泰勒公式.
3.泰勒公式的应用
泰勒公式是解决高等数学问题的很重要的工具，但是很多同学仅仅对泰勒公式的展开式比较熟悉，而对泰勒公式的其它应用方法没有深入的了解.实际上，泰勒公式
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