在近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题等问题的解决过程中也有很重要的应用.下面举几个例子进行阐述. 3.1近似计算及误差估计
例1：应用泰勒公式求330的近似值，并估计误差范围. 解：因为330?327?3，且27?33，所以可以设f(x)?3x， 先求x0?27处f(x)的三阶泰勒公式：
58??1?2210x3 . 因 f??x??x3，f???x???x3，f????x??9273所以得f(27)?3 ， f?(27)?及 f3(4)1210?????f(27)??f(27)? ， ， 371133380?11(x)??4x3 ，故
3x?3?1152(x?27)?(x?27)?(x?27)3?3712333804!?34[27??(x?27)]113(x?27)4.
其中???0,1?， 又x?30， 于是
|R3|??804!?34[27??(x?27)]113(30?27)4
80104?5?3??1.88?10 411124!?3?33115330?3?2?5?9
333 ?3?0.111111?0.004115?0.000254 ?3.10725
计算时，分数化小数取六位小数，合起来误差不超过0.3?10?5,再加上余项误差，总误差不超过2.2?10?5.
用多项式逼近函数进行近似计算是泰勒公式的重要应用，且应用高阶导数可以进一步精确地求出近似值，减小误差.本题用已知函数的泰勒公式的值（其项数可根据实际需要取），作为已知函数的近似值，用来进行近似计算，且用泰勒公式的余项来估计所产生的误差.一般如果对我们已经确定的n，我们先令|f(n?1)(x)|?M，则有估
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f(n?1)(?)M计误差|Rn|?(x?x0)n?1?x?x0(n?1)!(n?1)!3.2求极限
n?1.
11?x2?1?x22例2：求 lim 的极限值.
x22x?0cosx?esinx??解： 在这里由于sinx2~x2，把其它各项分别展开成带有佩亚诺型余项的泰勒公式，则有1?x2?1?121411x?x?o(x4)，那么分子变为1?x2?1?x2?x4?o(x4)， 2828分子式n?4,则分母中可以将括号里展开成n?2的情形，即有
212x?o(x3) ， ex?1?x2?o(x2) ， 223则有 cosx?ex??x2?o(x2)，所以此求极限的式子可以简化为
2cosx?1?141x?o(x4)1?x2?1?x2182. lim?lim??x22x?0x?0?312?222(cosx?e)sinx?x?o(x)x???2?故所求极限值是?1. 120对于求型的极限问题，常可以用洛必达法则，但对于像此例这种要连求几次导
0数，运算非常麻烦的情形我们可以考虑用带有佩亚诺型余项的泰勒公式加以解决.由此例可以看出泰勒公式是进行无穷小量分析比较的一个非常精细的工具.
0有些求极限的问题并非型的，我们仍然需要用到泰勒公式去求极限，如下例：
0??1??例3：求lim?x?x2ln?1??? 的极限值.
x???x????1?11?1??1?解：因为ln?1???????o?2?，(x??)，
?x?x2?x??x???1??所以得到lim?x?x2ln?1???x???x?????1??o?2??1?1x?lim?????? x??21?2??x2???2 7
得到极限值是
1. 23.3研究函数的极值问题
在研究函数的极值问题时我们往往也可以应用泰勒公式达到化整为零、快速解题的效果.
例4：设f在x0的某邻域内存在直到n?1阶导数，在x0处n阶可导，且f(k)(x0)?0
(k?1,2,?,n?1)，f(n)(x0)?0，证明:若n为偶数，则x0是f(x)的极值点；若n为奇
数，则f(x)在x0处不取极值.
证:由定理1我们知道f在点x0处的n阶泰勒公式即为
f???x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??o?x?x0???
2!n!n??又由题目条件可以看到f?(x0)?f??(x0)???f(n?1)(x0)?0，则上式可以简化成
f(x)?f(x0)?1(n)f(x0)(x?x0)n?o((x?x0)n)，因此有n!?1? f(x)?f(x0)??f(n)(x0)?o(1)?(x?x0)n （10）
n!??又因为f(n)?0，故存在正数????， 当x?U(x0;??)时，
1(n)1f(x0)与fn!n!(n)(x0)?o(1)同号.所以，
若n为偶数，则当f(n)(x0)?0时（10）式取负号，从而对任意x?U(x0;??)有
f(x)?f(x0)，则此时f在x0处取得极大值；同理f(n)(x0)?0时f在x0处取得极小值. 故若n为偶数，x0是f(x)的极值点.
若n为奇数，则任取x1?(x0,x0???)，且(x1?x0)n?0，x2?(x0???,x0)，(x2?x0)n?0 当f(n)(x0)?0时，有f(x1)?f(x0)?f(x2) ，在x0处取不到极值；同理当f(n)(x0)?0时也在x0处取不到极值.故若n为奇数，f(x)在x0处不取极值.
题目中提到了几阶导数的问题，而我们有时感觉到无从下手，此时我们就应该想到应用泰勒公式，常常能达到意料不到的效果，事半功倍. 3.4证明等式或不等式
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证明等式或不等式的方法有很多种，但是在含有一阶以上的导数时一般可运用泰勒公式进行证明.
3.4.1证明等式问题
例5：证明：若f?x?在[a,b]上有n阶导数存在，且
f?a??f?b??f??b??f???b????f?n?1??b??0，则在(a,b)内至少存在一点?，使得f?n?????0.
证：由于f?x?在[a,b]上有n阶导数，故可在x?b处展成n?1阶泰勒公式
????fbf????1?x?bn. f??(b)n?1f(x)?f(b)?f?(b)(x?b)?(x?b)2????x?b????2!(n?1)!n!n?1n其中?1在x与b之间.
又因为f?b??f??b??f???b????f?n?1??b??0,故由上式可得
1?n?nf??1??x?b?. n!1nn当x?a时，有f?a??f??????a?b?,?a???b?.
n!f?x??又f?a??0,?a?b??0,故知在?a,b?内必有一点?,使得f?n?(?)?0.
n3.4.2证明不等式问题
例6：证明：若函数f?x?在[a,b]上存在二阶导数，且f??a??f??b??0，则在?a,b?内存在一点c，使|f???c?|?4?b?a?2|f?b??f?a?|.
?a?b?证：将f??分别在点a和点b展成泰勒公式，并注意f??a??f??b??0，
?2?有
2f????1??b?a?a?b?a?b?; f??fa?,a?????1???2!?2?2?2?2f????2??b?a?a?b?a?b?f???2?b. ??f?b????,22!22????令 |f???c?|?max{|f????1?|,|f????2?|}.
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?a?b??a?b?则 |f?b??f?a?|?f?b??f??f????f?a?
?2??2?22f????2??b?a?f????1??b?a? ??????
2?2?2?2??1??b?a? ???|f????2?|?|f????1?|?? ?2?4 ?|f???c?即|f???c?|?2?b?a?|42
4?b?a?2|f?b??f?a?|.
由例4、例5可以看出用泰勒公式证明问题这类题目中往往涉及函数的高阶导数.应用的关键在于如何选择要展开的函数，在哪一点展开，以及展开的次数（一般比最高阶导数低一阶）等，这些都要根据题设的条件进行具体问题具体分析. 3.5关于界的估计
泰勒公式在有关界的估计方面的应用也是非常巧妙的.
例7：设函数f在(??,??)上有三阶导数，如果f(x)与f???(x)有界，试证f?(x)与f??(x)也有界.
证： 设 |f?x?|?M0, |f????x?|?M3,(???x???)， 其中M0,M3都是常数.
将f在任意一点x处展开成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式 即有
11f???x??f??????,26
11f?x?1??f?x???f??x??f???x??f??????,26f?x?1??f?x??f??x??其中???x,x?1?,???x?1,x?.
以上两式加减分别得到 f?x?1??f?x?1??2f?x?
1 ?f???x??[f???????f??????],
6
10