决这类问题的数学模型。 （三）、变式训练（课件）
1、如图，为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在相距20海里的B,C两地设立观测站（海岸线是过B,C的直线），按国际惯例，海岸线以外12海里范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海。某日，观测员发现一外国船只行驶至A处，在B观测站测得∠CBA＝34°，同时在C观测站测得∠ACB＝63°。问：是否需要向此未经特许的船只发生警告，命令其退出我国领海？ （参考数据：sin63??932，tan63??2，sin34??，tan34??） 1053A
B D C
2、如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD坝顶AE＝6米，坡底BC＝8米，斜坡AB与CE的坡比分别是0.4、2，请根据以上数据计算该大坝的高度。
A E
B C 3、嘹望台AE高20米，从嘹望台底部A测得对面塔顶B的仰角为63.5度，从嘹望台顶部E测得对面塔顶B的仰角为21.3度，已知嘹望台与塔BD地势高低相同。求塔高BD是多少 米？
B
F E
D A
此环节的设计意图：这三道题都是在基本题的基础上翻折，平移得到的，是基本题的变式。在学生分析解题思路的过程中,进一步体会它与基本题的内在关联，体会解题思路和方法的迁移，从而建立相应的数学模型。
（四）、回顾反思（课件）
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通过这节课的学习，你有什么收获？ 1、图形之间的关联。 2、解决此类问题的一般思路。 3、学习方法：类比法、建模思想。 【画外音】
此环节的设计意图：学生回顾反思本节课的内容，体会到这几道题虽然各不相同，但其本质是一样的，都可化归为1题的模型求解，从而建立起相应的数学模型，进而把握解决此类问题的方法实质，使数学能力进一步升华。
（五）、检测反馈（课件）
为了测量某小山坡的高度，某数学活动小组在测点A处安置测倾器，测得此时山顶M的仰角∠MCE＝30；在测点A与小山之间的B处安置测倾器（A、B与N在同一条直线上），测得此时山顶M的仰角∠MDE＝45；量出测倾器的高度BC=BD=1.5米，以及测点A、B之间的距离AB＝30米。根据上述测量数据，你能求出小山的高度MN？
【画外音】
此环节的设计意图：学生在前一环节已基本建立该类问题的几何模型，掌握该类题的解题规律，在此设置一道检测题进一步加以巩固。 （六）、布置作业
1、完成题纸中剩余的题目。
2、每位同学针对今天所学的内容自编一道三角函数的实际应用题，并解答出来。 【画外音】
此环节的设计意图：设计这两项作业使学生进一步巩固今天所复习的内容，同时作业2的设计进一步激发了学生的数学兴趣。
像这样将解决某一问题的方法加以归纳、总结,形成技巧，并用以解决其他问题，达成多题归一，培养学生知识、方法的迁移能力，是一种值得关注的有效复习策略。
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马：过渡话，引出主讲人赵美香。
（二）变式教学，感悟方法：
让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性与发散性籍方法优化又可以变式教学在帮助学生体验变式中类比的作用、使之运用类比思想找到解决问题的恰当的切入点、在解决问题时对自己已有的知识结构不断总结完善，进而得到解决问题的方法，发展学生的思维能力等方面可谓得天独厚。我们来看一个青岛五十三中袁文媛老师提供的案例。
证明题复习课
授课人：青岛53中 袁文媛
【画外音】
本节课的设计意图是通过对课本题目的变式，借助图形变换引导学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，提高解决问题的能力，感悟并掌握与证明相关知识的综合应用；进一步体验数学研究和发现的过程，体验图形变换思想，发展合情推理，培养学生的探索能力和合作交流的习惯。使学生在平时学习时能够主动的运用这些方法对题目进行适当的变式，从而达到一题多练的目的，从题海中解放学生。并依附这种变式，引导学生加强对问题本质的认识，关注解决问题方法的多样性，体验变式中类比的作用，发展学生的思维能力。 一、直面中考
1、你知道在中考试题中，几何证明题出现在什么位置吗？ 2、证明题要考察哪些知识点？
3、你对中考题证明题的提问方式有什么印象？ 4、图形的变换有哪几种方式？ 二、典型例题
1、原题重现：如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E.
①求证△ABC≌△AED
②△ABC满足什么条件时，四边形AEDC是矩形？ C B ③△ABC满足什么条件时，四边形AEDC是菱形？ 2、美丽的平移：将△ABC沿BA平移到△EAD的位置则： ①△ABC≌△AED吗？
②△ABC满足什么条件时，四边形AEDC是矩形？ A D ③△ABC满足什么条件时，四边形AEDC是菱形？
3、漂亮的旋转：将△ACD绕AD中点O旋转180°得到△DEA。则：
①△ABC≌△AED吗？
E
C ②△ABC满足什么条件时，四边形AEDC是矩形？
B ③△ABC满足什么条件时，四边形AEDC是菱形？
4、精彩的折叠：若将平行四边形ABCD中的△ABC沿AC向下折叠，
A 得到 △AEC ，EC交AD于点P，连结BE和DE。你能得到那些结
D P
论？选择其中一个说明理由。 5、小结
【画外音】
E
这一环节的设计思路是：通过4个变式例题帮学生感悟方法。
1.在课本原始例题的背景下，将图形进行平移、旋转和折叠三种不同的变换，从运动的角度让学生体会三角形、四边形以及特殊四边形的转化与演变，以此来深入了解三种变换的本质特征和不同四边形的不同判定方法。
2.在问题设置方面，采用条件开放和结论开放，甚至是条件与结论全开放的形式，激发学生的学习兴趣和
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积极性，并掌握开放型问题的证明方法。
3.通过变式，让学生能熟练进行三角形全等和特殊四边形的证明，并总结形成知识体系。
在解题教学的思维训练中，变式是一种很有效的方法。通过这样的变式训练，可以引导学生尝试从不同角度去改编题目，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等提高学生推理、探索的思维能力，进而通过解题后的反思，学生感悟归纳出同一类问题的解题思维形成过程与方法。
【画外音】这里要说明的是：新课程倡导自主探索的学习方式，但并不意味着教师要把教学的舞台全部让给学生，自己不自觉的由教学的“中心”走向教学的“边缘”，甚至于退出教学的舞台，当起了观众。事实上，探究活动不是学生个体的一种自由活动，学生不可能一开始就能独立从事探究活动，特别是当学生在探究中遇到困难时，最需要教师的精心指导，经历一个由“扶”到“放”的过程，循序渐进。在下面这段视频中我们看到：教师首先预设一个开放性的问题空间，给学生提问的自主权、讲问题进行梳理和归类（插入师生互动的视频片断一和二），在学生讨论时进行有效的、有针对性的指导，再在此基础上对全班进行有重点地讲解、师生交流共同解决难点问题，优化了课堂效率。（插入师生交流互动的视频片断三和四）
课堂教学中有效的探究活动是一个师生共同互动的行为，虽然我们的学生有很大的探究空间，但课堂教学时间却是有限的，学生的探究活动如果得不到教师适时、必要、谨慎、有效的指导，在很多情况下学生的探究就不能深入，探究的结果到头来只能停留在浅层的认识活动水平上，学生的思维也就得不到应有的发展。特别是在探究活动中学生遇到困难时，学生需要教师在思维、方法等方面的“点化”，使学生打开思路、拓展思维、找到探究方向，顺利完成探究任务，进而实现探究活动的目的。
三、应用提升
1、原题重现：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边中点，过点D分别作AB、AC的平行线交AB于E，交AC于F.
①△BDE≌△CDF吗？
②四边形AEDF是什么形状？
③ △ABC满足什么条件，四边形AEDF是正方形？
2、变式1：若过BC中点D分别作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F。类比前面的学习，你能提出哪些问题？你能解答它们吗？
3、变式2：在变式1的基础上，若将△BDE沿DE折叠，使B落在M处，将△CDF沿DF折叠，使C落在N处，则△ABC满足什么条件，四边形AMDN是菱形？说明理由。
A A A E F
F F E E
B C B C B C D D D
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（备用图）
4、展开想象的翅膀：
【画外音】
1、本环节的设计意图：通过本环节的训练使学生能够较为熟练的识别变化的本质，从而运用类比思想找到解决问题的恰当的切入点。 四、学会反思，感悟收获
【画外音】本环节的设计意图：学生对变式方法及解决问题思路的总结。
学生经过了艰苦的探索过程，获得了来之不易的“胜利果实”和较丰富的主观感受，产生强烈的表达意向，不吐不快。交流沟通就是在探索的基础上，让学生在小组或班集体内相互交流，充分展示自己的思维方法及探究过程，揭示规律、解决问题，从而加强学生之间、群体之间的交往、沟通及相互了解，促进学生不断反思自己的思考过程，分析思考其他同学的思路并做出自己的判断。交流给每个同学提供了表现自己的机会，不仅使自己对知识的理解更全面，而且丰富了想象力，使能力得到了提高。 五、反馈作业：1、整理导学案
2、A组：从学案中任选两题写出证明过程
B组：从课本或指导上任选一题进行改编，并加以证明。
【画外音】这节课选用的例习题以课本例、习题为蓝本，衍生而来。一题多变，横向联想，很多时候变换的是问题的形式，而不变换问题的本质，这使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，从变中加深对不变的理解，避免题海战术，提高学生归纳概括的能力，从而使学生灵活掌握基础知识，提高解决问题的能力，培养良好的思维品质。
伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。故而课堂教学要常新、善变，重视发挥习题的变式功能和解法的多样性，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，培养学生联想、转化、推理、归纳、探索的思维能力。通过结论与条件的互换来理解原命题与逆命题之间的关系，
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