北京市丰台区
2014届高三第二学期统一练习（一）
数学（理）试题
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合A?{x?R|?1?x?1},B?{x?R|x(x?3)?0},则A （A） {x?R|?1?x?3} （B） {x?R|0?x?3} （C） {x?R|?1?x?0} （D） {x?R|0?x?1} （2）在极坐标系中，点A（1,?）到直线?cos??2的距离是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为
B等于
829 （A）5 （B）12 513 （C）3 （D）8
（4）已知函数f(x)是定义在[?6,6]上的偶函数，下列各式中
一定成立的是
i 开始 =0,x i = i+1 x?1?1x否 i=0,x=1 i ≥4 是 输出x 结束 且f(3)?f(1)，则
（A）f(0)?f(6) （B）f(-3)?f(-2)
- 1 -
（C）f(?1)?f(3) （D）f(-2)?f(1) （5） “m?n?1”是 “
logm2?logn2”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是（A）（B）（C）（D）
x甲，x乙，则下列说法正确的是
x甲?x乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 x甲?x乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 x甲?x乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 x甲?x乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是
14 （A）3 （B）4 10 （C）3 （D）3
1211主视图侧视图1
2
俯视图
（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年 年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有
（A）24个 （B）21个 （C）19个 （D）18个 第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
sin??cos?（9） 已知tan??2，则sin??cos?的值为_______________.
a13a?a5?8，a1a5?4，则a9= . {a}(10)已知等比数列n中, 3(11) 如图,已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点, 且DF=CF=2,AF:FB:BE=4：2：1.若CE与圆相切,则线段CE的长
- 2 -
为 ．
(12) 已知点F,B
DABFCE分别为双曲线
x2y2?2?1(a?0,b?0)2abC:的焦点和虚轴端点，
在双曲线C上，则双曲线C的离心率是___________.
若线段FB的中点
uuuruuur(13)已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，AM?mAB，
nuuuruuuruuuruuur AN?nAD(m?n?0),若MN∥BE，则m=______________.
??x2?y2?1?0，??t?x?t，??y?00?y?1?t2???(14)设不等式组表示的平面区域为M，不等式组 表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值
是_________.
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. (15)(本小题共13分)
f(x)?cos(2x?已知函数
?3)?2sin2x?1．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
[0,]f(x)2上的最大值和最小值. （Ⅱ）求函数在区间
(16) (本小题共13分)
年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：
健康指数 60岁至79岁的人数 80岁及以上的人数 2 250 20 1 260 45 0 65 20 -1 25 15 ?其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。
（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。
（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”. (17) (本小题共14分)
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点. （Ⅰ）求证：DA1⊥ED1 ；
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AE（Ⅱ）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求AB的值；
（Ⅲ）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.
D1C1 A1B1
(18) (本小题共13分)
x(a?0). f(x)?ax?e已知曲线
DAEBC（Ⅰ）求曲线在点（0,f(0)）处的切线方程； （Ⅱ）若存在
x0使得f(x0)?0，求a的取值范围.
(19) (本小题共14分)
x2y23+=1(a>b>0)2b2如图，已知椭圆E: a的离心率为2，过左焦点F(?3,0)且斜率为k的直
线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线l：x?4ky?0交椭圆E于C,D两点. （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求证：点M在直线l上；
（Ⅲ）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；若不
存在，说明理由.
(20) (本小题共13分) 从数列叫数列 子列.
（Ⅰ）写出数列{3n?1}的一个是等比数列的子列； （Ⅱ）若
{an}中抽出一些项，
依原来的顺序组
成的新数列
{an}的一个
{an}是无穷等比数列，首项a1?1，公比q?0且q?1，则数列{an}是否存在一个子列为
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无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.
丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一） 数学（理科）答案 2014.3 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 C 5 A 6 D 7 B 8 B 二、填空题
179． 3 10. 9 11. 2 12.
三、解答题 15.解：
25 13. 2 14. ?
f(x)?cos2xcos（Ⅰ）
?3?sin2xsin?3?cos2x
13?cos2x?sin2x?cos2x22 ?33sin2x?cos2x22
13?3(sin2x?cos2x)22 ?3(sin2xcos??cos2xsin)33
??3sin(2x?)3--------------------------------------------------------------5分
所以f(x)的最小正周期为π.----------------------------------------------7分
?f(x)?3sin(2x?)3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知
π?ππ4πππx?x?[0,]2x??[,]2x??12时，函数f(x)取最大值3，2，所以333，当32，即因为2x?当
?π3π4πx???2时，函数f(x)取最小值2. 33，即
3??[0,]2上的最大值为3，最小值为2.--------------13分 所以，函数f(x)在区间
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