16.解：
250?260?6523?（Ⅰ）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为250?260?65?2524， 23 所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为24.--------------5分
（Ⅱ）该地区老龄人健康指数X的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计 概率)：
X p 2 1 0 -1 270700 305700 85700 40700 2? EX=
2703058540?1??0??(?1)?700700700700=1.15
因为EX<1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.------------------13分
17. 解：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则
zD(0,0,0),A（1，0，0），
D1 B(1,1,0)，C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1)，设E(1,m,0)
（0≤m≤1）
A1C1B1（Ⅰ）证明：
DA1?(1,0,1)，ED1?(?1,?m,1)
DDA1?ED1?1?(?1)?0?(?m)?1?1?0
CBy 所以DA1⊥ED1.
AE
x
-------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）设平面CED1的一个法向量为v?(x,y,z),则
??v?CD1?0??v?CE?0，而CD1?(0,?1,1)，CE?(1,m?1,0) ???y?z?0,?x?(m?1)y?0,取z=1,得y=1,x=1-m， 得v?(1?m,1,1).
所以? 因为直线DA1与平面CED1成角为45o，所以
sin45??|cos?DA1,v?|
?212，解得m=2.-----11分
所以
|DA1?v|2?2|DA1|?|v||2?m|，所以2m2?2m?36（Ⅲ）点E到直线D1C距离的最大值为2，此时点E在A点处.------14分
x?f(0)??1f?(0)?a?1， f(x)?a?e18.解：（Ⅰ）因为，所以切点为（0，-1）.，
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所以曲线在点（0,f(0)）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.-------------------4分
?（Ⅱ）（1）当a>0时，令f(x)?0，则x?lna.
x?f(x)?a?e 因为在(??,??)上为减函数，
?? 所以在(??,lna)内f(x)?0，在(lna,??)内f(x)?0，
所以在(??,lna)内f(x)是增函数，在(lna,??)内f(x)是减函数， 所以f(x)的最大值为f(lna)?alna?a 因为存在
x0使得f(x0)?0，所以alna?a?0，所以a?e.
x?f(x)?a?ea?0（2）当时，<0恒成立，函数f(x)在R上单调递减, 11f()?1?ea?0xf(x0)?0，所以a?0. 而a，即存在0使得
综上所述，a的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分
e?19. 解：（Ⅰ）由题意可知
c3?a2，c?3，于是a?2,b?1.
x2?y2?1 所以，椭圆的标准方程为4程.---------------------------------3分
（Ⅱ）设
A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，
?y?k(x?3)?2?x?y2?1?2222(4k?1)x?83kx?12k?4?0. ?4 即
?83k23kx1?x2?43k2x1?x2?y?k(x?3)?x??000224k?14k2?1， 24k?1 所以，，，
?43k23k?M(2,2)4k?14k?1. 于是
?43k23k?4k??0224k?1 因为4k?1，所以M在直线l上. --------------------------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，
若?BDM的面积是?ACM面积的3倍，
则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M为OC中点，；
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?x??4ky?21?xy32y???y?1y0?3?(x,y)4k2?1. 2.因为?4设点C的坐标为33，则，解得
1于是24k?12?3|k|12k2?k??24k?1，解得8，所以4.----------------14分
2n?1a?220. 解：（Ⅰ）n（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分
（Ⅱ）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为
?bn?，通项公式为bn?b1?(n?1)d.因为
a1?1，所以an?qn?1.
n?1{a}a?q0?q?1（1）当时，n∈（0，1]，且数列n是递减数列，
所以
?bn?也为递减数列且bn∈（0，1]，d?0,
n?1?b1?1d，
令
b1?(n?1)d?0，得
*b?0，这与bn∈（0，1]矛盾.
即存在n?N(n?1)使得nn?1{a}a?qq?1n（2）当时，≥1，数列n是递增数数列，
所以
?bn?也为递增数列且bn≥1，d?0.
因为d为正的常数，且q?1，
m?1a?a?q(q?1)?d. m?1m所以存在正整数m使得
令
bk?ap(p?m)，则
bk?1?ap?1，
ap?1?ap?qp?1(q?1)?qm?1(q?1)?dbk?1?bk因为=，
所以
ap?1?ap?bk?1?bk，即
ap?1?bk?1，但这与
bk?1?ap?1矛盾，说明假设不成立.
综上，所以数列
{an}不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分
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