锐角三角函数（一）
韭园一中九年级数学组 李淑华 任月华 周芳 李翠玲 胡纪娜 张云凤
课标要求:
1、知道三角函数的概念，熟记特殊角的三角函数值； 2、会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题。 知识要点：
1、锐角三角函数;(1)三角函数的定义（2）30°、45°、60°角的三角函数值
2、解直角三角形（1）两锐角之间的关系（2）三边之间的关系（3）边角之间的关系 考试分析:
锐角三角函数的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考察题型为选择题，填空题，应用题为主，分值一般8-12分，考察内容：①常见锐角的三角函数值的计算，②根据图形计算距离，高度，角度的应用题，③根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题。 突破方法：
①掌握三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值，②了解某些问题中的仰角，俯角，坡度等概念，③将实际问题转换为数学问题，建立数学模型④涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为直角三角形的计算问题而达到解决实际问题。⑤解应用题的关键是根据实际问题画出示意图，弄清图中各个量的具体意义及各已知量和未知量的关系。通过练习，熟练建模。 考点精讲：
一、锐角三角函数的概念
说明：该知识主要考查锐角三角函数的概念包含正弦、余弦和正切的概念。 例1、（2010济南）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为（ ） A、
AOMND1 2B、2 2C、3 2D、1
BC分析：由正方形的性质可得∠OBC=∠OCB=45°，因为点M、N分别是OB、OC的中点，可得△OMN∽△OBC，所以∠OMN=∠OBC，所以cos∠OMN=cos∠OBC，选B 二、特殊角的三角函数值
说明：掌握该知识点要熟记特殊角的正弦、余弦、正切值。 例2、(2010丹东)计算：2（2cos45°—sin60°）+24 4分析:本题是特殊角的三角函数值和二次根式有关的运算。 解：原式=2（2? =2
2326—）+ 224
三、解直角三角形
说明：该知识点主要考查利用锐角三角函数及勾股定理解决三角形中有关边角的计算问题。
例3、（湖北恩施）如图，在三角形ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ ） A、2 B、
43 C、23 D、43 31，求出AD的长，从而可2分析：本题可先利用sin30°=
知AC的长，再利用锐角三角函数求出BC的长。 解：因为∠B=60°，∠C=90°，所以∠A=30°，
_ A
_ D_ E11因为sin30°=，所以DE=AD， 22即AD=2所以AC=4.所以BC=
AC443 = = _ Ctan60°33_ B
故选B
例4、（安徽芜湖）如图、一艘核潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求黑匣子C点处距离海面的深度。（精确到米）
分析：在图中作出表示黑匣子C处距离海面的深度的线段，将问题转化为直角三角形的边角关系问题。
解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于点E，并交海
DF面于点F，
B已知AB=4000m，∠BAC=30°，∠EBC=60°，
EA因为∠BCA=∠EBC-∠BAC=30°
所以∠BCA=∠BAC
所以BC=AB=4000m，在Rt△BEC中，CE=BCsin60°=4000
C×
3 =20003(米) 2所以CF=CE+EF=20003+500≈3964（米）
答：海底黑匣子C处距离海面的深度约为3964m。
疑难解析：求直角三角形边或角的关键是恰当的选择边角关系式，其中隐含着一定的技巧和策略，其口决为：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，避中取原
课堂训练：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=60°,BC=1,则AB=_____
2、等腰三角形中，腰长为5cm，底边长8cm，则它的底角的正切值是
3、在正方形网格中，△ABC的位置如右图所示， 则cos?B的值为__________
4、（2011南京）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，
则cos∠AOB=
5、（2011荆州）在三角形ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（
B ）
21C、
721D、
1457A、 143B、 5OAM6、在三角形ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC:CA:AB=5:12:13，则cosB=（ ） A、
512512 B、 C、 D、 125131327、已知锐角A满足关系式2sinA-7sinA+3=0，则sinA的值是（ ） A、
8、先化简，再求值（
11 B、3 C、或3 D、4 222a?2a+2）? 其中a=tan60°—2sin30° a+1a-1a?1
9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上中点，DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长。
A
BCD
E
10、（2010深圳）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行 min可使渔船到达离灯塔最近的位置。
北北
M
AB东
11、（2010安徽）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米每秒。求船从A到B处约需几分钟。（参考数据3=1.7）
B
A
锐角三角函数（二）
————解直角三角形
知识回顾
知识点一：解直角三角形
1、解直角三角形的类型：
（1）已知两边：①两条直角边a、b．其解法：c=a2?b2，用tanA=
ab,求得∠A，∠B=90°－∠A．②斜边和一条直角边c、a．其解法：b=c2?b2用sinA=ac ，求得∠
A，∠B=90°－∠A （2）一边和一锐角： ①一条直角边a和锐角A：∠B=90°－∠
A；用tanA=
ab,求得b=atanA ；用sinA=aac求得c= sinA． ②斜边c和锐角A：∠B=90°－∠A；用sianA=abc,求得a= csinA；用cosA=c,
求得b= ccosA．
2、解直角三角形的方法（口诀）：
\有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．\这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 友情提示：
⑴解题时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差； ⑵斜三角形问题可添加合适的辅助线转化为直角三角形问题。 考点精讲：
例1（2011贵阳）如图，三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A、3．5 B、4.2 C、5.8 D、7 A
解析：∵sinB=
ACBC,∴AB=3sin30?。 又AC≤AP≤AB，∴3≤AP≤6，∴AP的长不可能是7.应选D。
CPB例2、（2010武汉）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的
长为6，∠ACB的平分线交
C⊙O于D,则CD的长为 （ ）
A、7 B、72 C、82 D、9 O解析：连接BD，AD，作BE⊥CD于E，∵AB是直径，
AEDB