2.12 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示． 解：珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为F = mgtgθ． 珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ．
根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ， 可得
g2?R?，解得 ???arccos2． cos?R?F O x 图2.13 ω θ r 图2.12
R m mg mg
2.13 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
解：方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为I?m x ?π/2?0(?kAcos?t)dt??kAπ/2??sin?t0??kA?
方法二：利用动量定理．小球的速度为v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为p1 = mv1 = 0，末动量为p2 = mv2 = -mωA， 小球获得的冲量为I = p2 – p1 = -mωA，可以证明k =mω，因此I = -kA/ω．
2.14 一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？ 解：小球动量的大小为p = mv，
???但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义?p?p2?p1 ???得p2?p1??p，由此可作矢量三角形，可得?p?2p?2mv．
-1
2
Δp p1 p2 p1 m R 因此向心力给予小球的的冲量大小为I??p= 1.41(N·s)．
2
[注意]质点向心力大小为F = mv/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
mv．
R42R4假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2/R = mωv，
其分量大小分别为Fx = Fcosθ = Fcosωt，Fy = Fsinθ = Fsinωt， 给小球的冲量大小为dIx = Fxdt = Fcosωtdt，dIy = Fydt = Fsinωtdt，
I?Ft?mvT2?mv2?R/TT??y Fx F O m Fy R x 积分得Ix?Iy??T/40Fcos?tdt?FT/4?sin?t0?T/4F???mv， F?T/40Fsin?tdt??22F?cos?t0??mv，
合冲量为I?
Ix?Iy?2mv，
所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
11
2.15 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？ 解：球上升初速度为vy?其速度的增量为?v?2x-1
s)， 2gh= 14(m·2y-1
s)． v?v= 24.4(m·
-1
vy Δv
棒给球冲量为I = mΔv = 7.3(N·s)，
对球的作用力为（不计重力）F = I/t = 366.2(N)．
2.16 如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在
一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s）
解：物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程Mg – T = Ma，物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程T = Ma， 联立方程可得a = g/2 = 5(m·s-2)．
根据运动学公式s = v0t + at/2，可得B拉C之前的运动时间t?2s/a= 0.4(s)．
-1
此时B的速度大小为v = at = 2(m·s)．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得2Mv = 3Mv`， 因此C开始运动的速度为v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．
2.17 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？ 解：炮弹在最高点的速度大小为v = v0cosθ， 方向沿水平方向．
根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得
mv/2?m2v`cos45?，
2
-2
vx B C 图2.16 A v0 θ v` 45v v` 所以 v` = v/cos45° =
2v0cos?．
2.18 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？
?解:：取弧长增加的方向为正方向，弧位移ds的大小为ds = Rdθ．
?重力G的大小为G = mg，
45° N θ R F ds f m图2.18
方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为
??dW1?G?ds?Gcos(??π/2)ds??mgRsin?d?，
12
积分得重力所做的功为W1??45?045?(?mgRsin?)d??mgRcos?0??(1?22)mgR．
?摩擦力f的大小为f = μkN = μkmgcosθ，方向与弧位移的方向相反，
??所做的功元为dW2?f?ds?fcosπds??ukmgcos?Rd?，
积分得摩擦力所做的功为W2??45?45?0(??kmgRcos?)d????kmgRsin?0??22?kmgR．
???要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力G、摩擦力f和马的拉力F就是平衡力，即
??????F?G?f?0，或者 F??(G?f)．
??????拉力的功元为dW?F?ds??(G?ds?f?ds)??(dW1?dW2)，
拉力所做的功为W??(W1?W2)?(1?22?22?k)mgR．
由此可见：重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
2.19 一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求： （1）摩擦力所做的功； （2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
解：（1）质点的初动能为E1 = mv02/2，末动能为E2 = mv2/2 = mv02/8， 动能的增量为ΔEk = E2 – E1 = -3mv02/8，这就是摩擦力所做的功W． （2）由于dW = -fds = -μkNds = -μkmgrdθ， 积分得W??2?0(??kmgr)d???2??kmgr．
3v02由于W = ΔE，可得滑动摩擦因数为?k?16πgr．
（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为at = f/m = -μkg， 根据公式vt – vo = 2ats，可得质点运动的弧长为s?2
2
v022a?v022?kg?8?r3，
圈数为 n = s/2πr = 4/3．
[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量
-fs = ΔE k，可得 s = -ΔE k/f， 由此也能计算弧长和圈数。
2.20 如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m．弹簧的倔强系数k = 400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？
解：取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程mgssin???mgxsin??
s = 3m B A θ = 45° 图2.20
12kx，
213
整理和一元二次方程
mgsin??12kx?mgxsin??mgssin??0，
22解得x?(mgsin?)?2kmgsin?k= 0.24(m)（取正根）．
2.21 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
证：设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得
1222???根据动量守恒得p0?p1?p2，
mv0?21mv1?21mv2，即 v0?v1?v2；
2222p1 p0 θ p2 其中各动量的大小为p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2， 对矢量式两边同时平方并利用
??222p1?p2?mv1mv2cos?得p0?p1?p2?2p1p2cos?，
2222222即mv0?mv1?mv2?2mv1v2cos?
222化简得v0?v1?v2?2v1v2cos?，
结合机械能守恒公式得2v1v2cosθ = 0，由于v1和v2不为零，所以θ = π/2， 即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．证毕．
2.22 如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳
的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最m1 = 0.8m 低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．
解：钢球下落后、碰撞前的速率为v1?121212O m2 2gl．
图2.22
钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程
m1v1?2m1v`1?2m2v`2，m1v1?m1v1?m2v2．
2``222``整理得m1(v1?v`1)?m2v`2， m1(v1?v1)?m2v2．
``将前式除以后式得 v1 + v1` = v2`，代入整理的下式得 m1v1?m1v1?m2v1?m2v1，
解得 v1?h?v1`2`(m1?m2)vm1?m2?1(1．碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为
22m1?m22g2gm1?m2)v1?(m1?m2m1?m2)l= 0.36(m)．
2[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程
12
m1v1?212m2v2?212m1v`1?212m2v`2，m1v1?m2v2?m1v1?m2v2．
14
2```同理可得v1?v1`?v2?v2．从而解得v1`?(m1?m2)v1?2m2v2m1?m2，
，
或者v1`?`或者v2?2(m1v1?m2v2)m1?m22(m1v1?m2v2)m1?m2`?v1；将下标1和2对调得v2?(m2?m1)v2?2m1v1m1?m2m1v1?m2v2m1?m2?v2．后一公式很好记忆，其中
代表质心速度．
A m 圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求： V （1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？
2.23 一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；
（3）物体到达B时对槽的压力．
解：（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得
mgR?12mv?2R v B M 图2.23
12MV，
2根据动量守恒定律得 0 = mv + MV．
11112222(mv)， (MV)?mv?因此mgR?mv?22M22M解得v?2MgRM?m，从而解得V??m2gRM(M?m)12． MVmM2（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量W??mgRM?mM?mM2．
v?（3）物体在槽底相对于槽的速度为v`?v?V?(1?物体受槽的支持力为N，则 N?mg?m因此物体对槽的压力为 N`?mg?m
v`2)v?2(M?m)gRM，
v`2R， 2mM)mg．
R?(3?2.24 在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一
直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．
解： 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得
4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v，因此v = 3v0/5．
质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得因此k
15
122ermmpv?22012(4mp)v?202201285(5mp)v?k2022erm2，
5ke22?52mp(v?v)?mpv，所以最近距离为rm?4mpv0．