3.9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根
?t`据时间膨胀公式?t?，可得时间间隔为?t`??t1?(v/c)2= 4(s)．
21?(v/c)
3.10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．
解：方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为ux = 0，uy = c．
`星光在S`系中的速度分量为ux?ux?v1?uxv/c2y` 2??u
y 地球 S S` c 星光 太阳 v=u uy` θ` x x` uy?`uy1?v/c1?uxv/c222?c1?u/c?`2`2222c?u -u O 星光在S`系中的速度为u`?即光速是不变的． ux?uy?c，
uuy`星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为?`?arctan?arctanuc?u22．
方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为uy?`c?ux/?2`2c?u，
uxu`y`22从而可求出星光速度垂直地面的夹角为?`?arctan?arctanuc?u22．
[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．
3.11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？
解：（1）粒子的非相对论动能为Ek = m0v/2，相对论动能为E`k = mc – m0c， 其中m为运动质量m?m01?(v/c)2222
．根据题意得1m0c221?(v/c)?m0c?m0v，
22设x = (v/c)2，方程可简化为2
1?x平方得1 = (1 – x)(1 - x)，化简得x(x2 – x -1) = 0．由于x不等于0，所以x2 – x -1 = 0．
?x)?1x， ?1?x，或 1?(1解得x?1?25，取正根得速率为v?c1?25= 0.786c．
m0v1?(v/c)2（2）粒子的非相对论动量为p = m0v，相对论动量为p`?mv?，
26
根据题意得方程m0v1?(v/c)2?2m0v．很容易解得速率为v?32c= 0.866c．
3.12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10s，求其能通过的距离． 解：在相对论能量关系中E = E0 + Ek，
静止能量E0已知，且E0 = m0c，总能量为E?mc?所以
11?(v/c)222-6
22m0c?E01?(v/c)2，
1?(v/c)?E0?EkE0， ?t`1?(vc/)2由此得粒子的运动时为 ?t?E0E0?Ek??t`E0?EkE0．
还可得 1?(v/c)?2，解得速率为 v?c1?(E0E0?Ek)．
2粒子能够通过的距离为
?l?v?t?c?t`(E0?EkE0)?1?3?108?2.6?10?6(1?30)2?1= 24167.4(m)．
2
3.13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：
E0E0?Ekvc?1?E0E22．
证：根据上题的过程已得v?c1?(
)，将E = E0 + Ek代入公式立可得证．
23.14 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量． 解：在结合过程中，质量亏损为Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)， 取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)． 如果取c = 2.997925×10(m·s)，可得释放出的能量为ΔE = 3.549977×10(J)．
8
-1
-13
27