相对不确定度 ER??RR?0.7?100%?0.35% 200.0测量结果为 R＝200.0±0.7（Ω）
注意：不确定度保留一位有效数字，相对不确定度保留2 位有效数字。
例2．测量金属环的内径D1＝28.80±0.04（mm），外径D2＝36.00±0.04（mm）, 厚度 h＝25.75±0.04（mm）。试求环的体积V。
[解]： （1）环体积的近似真实值为
V??42h(D2?D12)?3.1416?25.75?(36.002?28.802)?9436(mm3) 4（2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分
2 lnV?ln(?)?lnh?ln(D2?D12)
4 dV?0?dh?2D2dD2?2D1dD1?1dh?22VhD2?D1h2D2?2DdD2?212dD1 2D?D1D2?D122则相对不确定度为
E??V?(?h)2?(2D2?D)2?(?2D1?D)2
V222221VhD2?D1D2?D10.0422?36.00?0.042?2?28.80?0.042? ??()?()?()?=0.81% 2222?36.00?28.8036.00?28.80??25.75（3）合成不确定度为
12?V?V?EV?9436?0.0081?9?10(mm3)
（4）环体积的测量结果为
V＝944?9(mm)3 EV＝0.81%
注意： 结果的末尾数与不确定度的所在位对齐。
数据处理方法
物理实验中测量得到的许多数据需要处理后才能表示测量的最终结果。数据处理是指从获得数据起到得出结果为止的加工过程。数据处理包括记录、整理、计算、分析、拟合等多种处理方法，常用有列表法、作图法、图解法、最小二乘法等。
一、列表法
列表法是记录数据的基本方法。是记录的最好方法。设计记录表格要求：
1．列表要简单明了，利于记录、运算处理数据和检查处理结果，便于一目了然地看出有关量之间的关系。
2．表中各栏中的物理量都要用符号标明，并写出数据所代表物理量的单位及量值的数量级。单位写在符号标题栏，不要重复记在各个数值上。
3．记录的数据，应正确反映测量结果的有效数字。一般记录表格还有序号和名称。 例如：要求测量圆柱体的体积，圆柱体高H和直径D的记录如下：
测柱体高H和直径D记录表 1 测量次数i Hi（mm） D i（mm） 35.32 8.135 2 35.30 8.137 3 35.32 8.136 4 35.34 8.133 5 35.30 8.132 平 均 35.326 8.1347 说明：测Hi 是用精度为0.02mm的游标卡尺，仪器不确定度为ΔI＝0.02mm ；测Di 是用精度为0.01mm
的螺旋测微器，其仪器不确定度ΔI＝0.005mm。
11
由表中所列数据，可计算出高、直径和圆柱体体积测量结果： H＝35.33±0.02（mm） D＝8.135±0.005（mm）
V＝（1.836±0.003）3103（mm3） 二、作图法
用作图法处理实验数据是数据处理的常用方法之一，它能直观地显示物理量之间的对应关系，揭示物理量之间的联系。作图法是在现有的坐标纸上用图形描述各物理量之间的关系，将实验数据用几何图形表示出来，叫做作图法。在作图时要注意以下几点：
1．作图一定要用坐标纸。当决定了作图的参量以后，根据函数关系选用直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等，本教材主要要求学会用直角坐标纸。
2．坐标纸的大小及坐标轴的比例。应当根据所测得的有效位数和结果的需要来确定，原则上数据中的可靠数字在图中应当标出，数据中可靠位的最后一位在图中应是整数格。除特殊需要外，数值的起点一般不必从0开始，X轴和Y轴的比例可以采用不同的比例，使作出的图形大体上能充满整个坐标纸，图形布局美观、合理。
3．标明坐标轴。对直角坐标系，一般是自变量为横轴，因变量为纵轴，采用粗实线描出坐标轴，并用箭头表示出方向，注明所示物理量的名称，单位。坐标轴上标的量值的有效位数应与测量值的有效位数相同，且标整数。
4．描点。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置，一张图纸上画上几条实验图线时。每条图线应用不同的标记如“3”、“+”等符号标出，以免混淆。
5．连线。根据不同函数关系对应的实验数据点分布，把点连成直线或光滑的曲线或折线，连线必须用直尺或曲线板，校准曲线中的数据点则连成折线。由于每个实验数据都有一定的不确定度，所以将实验数据点连成直线或光滑曲线时，绘制的图线不一定通过所有的点，应让多数实验点落在曲线上, 其余的点均匀分布在曲线的两侧，即尽可能使曲线两侧所有点到直线的距离之和最小并且接近相等，个别偏离很大的点应当应用异常数据的剔除中介绍的方法进行分析后决定是否舍去，原始数据点应保留在图中。
6．写图名。作完图后，在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者一目了然。作图时，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用“—”联接。
7．最后将图纸贴在实验报告的适当位置，便于教师批阅实验报告。
三、图解法
在物理实验中，实验图线做出以后，可以由图线求出经验公式。图解法就是根据实验数据作好的图线，用解析法找出相应的函数形式。实验中经常遇到的图线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线。特别是当图线是直线时，采用此方法更为方便。
1．由实验图线建立经验公式的一般步骤： （1）根据解析几何知识判断图线的类型； （2）由图线的类型判断公式的可能特点；
（3）利用半对数、对数或倒数坐标纸，把原曲线改为直线；
（4）确定常数，建立起经验公式的形式，用实验数据来检验所得公式的准确程度。 2．用直线图解法求直线的方程
如果做出的实验图线是一条直线，则经验公式应为直线方程
y＝kx＋b （13） 要建立此方程，由实验直接求出k（斜率）和b（截距），一般有两种R 方法。可用斜率截距法和端值求解法。
85.00 其中斜率截距法：在图线上选取两点P1（ x1，y1 ）和P2（ x2，y2 ），80.00 其坐标值最好是整数值，或横坐标取整数值。用特定的符号表示所取的点，75.00 与实验点相区别。一般不要取原实验点。所取的两点在实验范围内应尽量70.00 10.0 30.0 50.0 0.0 20.0 40.0 T 彼此分开一些，以减小不确定度。根据两点的坐标求出斜率k为
图3某金属丝电阻—温度曲线 12
k?y2?y1 （14）
x2?x1其截距b为 x＝0 时的y值；若原实验中所绘制的图形并未给出 x＝0段直线，可将直线用虚线延长交y轴，则可量出截距。如果起点不为零，也可以由式
b?x2y1?x1y2 (15)
x2?x1求出截距，求出斜率和截距的数值代入方程中就可以得到经验公式。
例：金属导体的电阻随着温度变化的测量值为下表所示，试求经验公式R＝f（T）和电阻温度系数。
19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0 温度（℃） 77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10 电阻（μΩ） 76.30 根据所测数据绘出R～T图 求出直线的斜率和截距
8.00 k??0.296（μΩ／℃）
27.0 b＝72.00（μΩ） 于是得经验公式
R＝72.00＋0.296T 该金属的电阻温度系数为 ??P P O 图4 P～V曲线 V O 图5 P～1/V曲线 １ V k0.296??4.11?10?3（1/℃） b72.003．曲线改直，曲线方程的建立
在实验工作中，许多物理量之间的关系并不都是线性的，由曲线图直接建立经验公式一般是比较困难的，但仍可通过适当的变换而成为线性关系，即把曲线变换成直线，再利用建立直线方程的办法来解决问题。这种方法叫做曲线改直。
例如：PV=C，式中C为常量，要变换成P=C(1/V)，P是1/V的线性函数，斜率为C。
习 题
1．指出下列各量是几位有效数字？
（1） 63.74 cm; （2） 0.302 cm; （3） 0.0100 cm ; （4）12.61s ; 2．试用有效数字运算法则计算出下列结果
（1）107.50 －2.5；（2）273.5÷0.100；（3）1.5030.500；（4）
8.0421?30.9；
6.038?4.0343. 一圆柱体，已知高h＝4.120±0.001（cm），直径d＝2.040±0.001（cm）, m＝149.18±0.05（g）。求V 和
密度ρ的测量结果。
4．改正下列错误，写出正确答案
（1）L＝0.01040（km）的有效数字是五位； （2）d＝12.435±0.02（cm ）； （3）h＝27.3310 4±2000（km）；
（4）R＝6371 km＝6371000m＝637100000（cm）； （5）t=8.50±0.452s
（6）θ＝60±2’。 5．单位变换
（1）将 L＝4.25±0.05（cm）的单位变换成μm , mm , m , km 。 （2）将 m＝1.750±0.001（kg）的单位变换成 g , mg , t 。
? 13
6．利用单摆测重力加速度g，当摆角θ＜5°时，T＝2π
L, 式中摆长L＝97.69±0.02 （cm），周期Tg＝1.9842±0.0002（s）。求g和?g ，并写出结果的标准式。
7．不确定度按形式可分为 和 ,按其性质可分为 和 。
8．准确度等级为0.5级,量程为10mA的电流表,使用时可能产生的仪器不确定度为 mA,若要求测
量的相对不确定度不超过1%,则被测电流应不小于 mA。
9．现有两只伏特表甲和乙，分别为0.5级0～300V和1.0级0～100V，欲测100V左右的电压，宜选
用 表。 10．下列说法中正确的有( )。
A.可用仪器最小分度或最小分度的一半作为该仪器的一次测量的不确定度; B.可以用仪器精度等级估算该仪器一次测量的不确定度;
C.只要知道仪器的最小分度值,就可以大致确定仪器不确定度的数量级。
D.任何一次测量值xi落在x??~x??之间的可能性为57.5%;
???? 11．
N?ax?bx?cz,则?N,?NN分别为( )。
;
2 A.
?N?a?x2?b?y2?c?z2?N?1Na?x?b?22y; B.
2?N?a2?x2?b2?y2?c2?z2?N?1N22 C.N?c?z; D.Na2?x?b2?y?c2?z。
12. 用精密天平称一物体的质量m,共称五次,结果分别为3.6127克、3.6122克、3.6120克、3.6121克、
3.6125克。试求这些数据的算术平均值、不确定度和相对不确定度。
13. 用米尺测得正方形某一边长为a1=200.1mm, a2=200.0mm, a3=200.4mm, a4=198.4mm, a5=197.3mm
求正方形的边长和面积的平均值、不确定度和相对不确定度。
??14.用流体静力称衡法测固体密度的公式为
m?0,m?m1测得m =(27.06±0.02)g, m1=(17.03±0.02)g,
?0?(0.9997?0.0003)g/cm3。求??。
?4R?6061.?10?,ER?01%,.d?3970.mm,Ed?01%,.L?10062.cm, 15. 已知
EL?0.02%,??R?d2/4L,求?,??,E?。
16. 用图解法处理数据，若实验图线为直线,则应让 落在直线上, 分布在直线的两侧。确定直线斜率时, 所选的两点在实验范围内应尽量 , 一般 选用实验点，而应在直线上选两点。数据中的准确位在图中应是 格。
17、坐标轴上标的量值的有效位数应与测量值的有效位数 ，且标整数。
参考文献：
1、 何焰蓝、杨俊才，大学物理实验，北京，机械工业出版社，2004.5
2、 王银峰、陶纯匡、汪涛等，大学物理实验，北京，机械工业出版社，2005.9
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实验一、冷却法测金属的比热容
根据牛顿冷却定律用冷却法测定金属或液体的比热容是量热学中常用的方法之一。比热容的测定对研究物质的宏观物理现象和微观结构之间的关系有重要意义。
一、实验目的
1、 学会测定铁、铝样品在室温至200℃之间的各种温度比热容的方法。
2、 了解金属的冷却速率和它与环境之间温差的关系，及进行测量的实验条件。 二、实验原理
牛根据顿冷却定律，在一定的条件下可得出
C2?C1M1(?t)2 （1）
M2(?t)1若已知标准样品在不同温度的比热容C1，通过测下降相同的温度标准样品和被测样品所需的时间Δt，就可测得带测金属在不同温度时的比热容。
通过作金属的冷却曲线，可了解金属的冷却速率和它与环境之间温差的关系，及进行测量的实验条件。 本实验以铜样品为标准样品，可测定铁、铝样品在室温至200℃之间的各种温度的比热容。作金属样品的冷却曲线，可求出样品的冷却表达式。
1．用比较法测定金属的比热容
单位质量的物质，其温度升高1K（1℃）所需的热量叫做该物质的比热容，其值随温度而变化。将质量为M1的金属样品加热后，放到较低温度的介质（例如：室温的空气）中，样品将会逐渐冷却。其单位时间的热量损失（△Q/△t）与温度下降的速率成正比，于是得到下述关系式：
?Q?t=C1M1?t?T1 （2）
?T1式中C1为该金属样品在温度T1时的比热容，?t为金属样品在T1的温度下降速率。
根据冷却定律，热体因对流而损失的热量可由下式表示
?Q??1S1(T1?T0)m （3） ?t式中?1为热交换系数，S1为该样品外表面的面积，m为常数（强迫对流时m＝1；自然对流时m＝5／4），T1为样品的温度，T0为周围介质的温度。由式（2）和（3），可得
C1M1?T1??1S1(T1?T0)m （4） ?t同理，对质量为M2，比热容为C2的另一种金属样品，可有同样的表达式：
?T2??2S2(T2?T0)m （5） ?t?TC2M22?2S2(T2?T0)m?t由上式（4）和（5），可得： ?m?T1?S(T?T)1110C1M1?t?TM11?2S2(T2?T0)m?t所以 C2?C1 ?T2M2?1S1(T1?T0)m?tC2M2如果两样品的形状尺寸都相同，即S1=S2；两样品的表面状况也相同（如涂层、色泽等），而周围介质（空气）的性质当然也不变，则有?1??2。于是当周围介质温度不变（即室温T0恒定而样品又处于相
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