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圆锥曲线光学性质及生活中的应用
杭州高级中学高二（12）：汪愈超、汤凯楠、王小川
学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有几条未证明的性质引起了我们的兴趣，在反复查找资料，推理演算下，总算是确定了三条待证命题，大致地完成了其证明，并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用。 一、 圆锥曲线的光学性质
首先说明一下我们要证明的东西，总共有三样：
1 椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在
F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．
双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献 3 抛物线的光学性质 ：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对
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称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
图1.1
? F2 O ? F1 B D A F2 ? ? F1 ?
图1.2 图1.3
当然，在证明之前，需要把这个物理问题转化为数学问题才行。 二、问题转化及证明
在证明前，如果不知道这三点，是很麻烦的
因为其光学性质的证明都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关，所以这三个公式先提前列出
x2y21若点P(x0,y0)是椭圆2?2?1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：
abx0xy0y?2?1。 2abx2y22若点P(x0,y0)是双曲线2?2?1上任一点，则双曲线过该点的切线方
abx0xy0y程为：2?2?1
ab 3
3若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是y0y
1. 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）
x2y2已知：如图，设椭圆C的方程为2?2?1，F1,F2分别是其左、右焦点，l是
ab过椭圆上一点P(x0,y0)的切线，l'为垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴
?p(x?x0)
于D
设?F2PD??,?F1PD??， 求证：???.
x2y2解：在C:2?2?1上，P(x0,y0)?C，
abxxyy则过点P的切线方程为：02?02?1
abl'是通过点P且与切线l垂直的法线， L’ y
O 则
l':(y0x011)x?()?xy(?2)00222baba
caL F1 D FF2 x
图2.1 ∴法线l'与x轴交于D(()2x0,0)
c2c2∴|F1D|?2x0?c,|F2D|?c?2x0
aa|F1D|a2?cx0∴ ?2|F2D|a?cx0又由焦半径公式得：|PF1|?a?ex0,|PF2|?a?ex0 ∴
|F1D||PF1|? |F2D||PF2|∴PD是?F1PF2的平分线 ∴???
∵?????90??????，故可得?????????
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2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；
x2y2已知：如图，双曲线C的方程为2?2?1，F1，F2分别是其左、右焦点，l是
ab过双曲线C上的一点P(x0,y0)的切线，交x轴于点D，设?FP??，?F2PD?? 1D求证：???
x2y2解：C:2?2?1
abF?yL ??? P ??DF?x 两焦点为F1(?c,0)，F2(c,0) (c2?a2?b2)
P(x0,y0)在双曲线上
图2.2
则过点P的切线
x0xy0y?2?1 a2ba2切线l与x轴交于D(,0)。
x0由双曲线的焦半径公式得
|PF1|?|ccx0?a|,|PF2|?|x0?a| aa双曲线的两焦点坐标为F(c,0)，F?(?c,0)
cx0?a||PF1||DF1|acaca故|DF1|?|||x0?a|,|DF2|?|||x0?a|, ??x0ax0a|PF2||cx?a||DF2|0a|故????????? ， ∴切线l为?FPF?之角分线。
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