''\\12．证明晶面 ?h1h2h3?,h1'h2h3 及 h1\h2h3 属于同一晶带的条件
????h1h2'h2\h2h3h3'?0
\h3 h1'h1\[解答]
''\\设原胞坐标系中的倒格子基矢为b1,b2,b3, 则晶面?h1h2h3?，h1'h2h3及 h1\h2h3
????的倒格矢分别为
Kh?h1b1?h2b2?h3b3,'Kh'?h1'b1?h2b2?h3'b3, \\Kh\?h1\b1?h2b2?h3b3.
当三个晶面共晶带时,它们的交线相互平行,这些交线都垂直于倒格矢KhKh'Kh\ 即KhKh'Kh\ 位于同一平面上,于是有
Kh?Kh'?Kh\?0 利用正倒格子的关系
a`?2??b3?b1?2??b1?b2?2??b1?b2?,b?,b?23????????得
\'\'\\?b2?b3??h3'h1\?h1'h3\?b3?b1Kh'?Kh\???h1'h2?h2h1?b1?b2??h2h3?h3'h2??h1'?[\2?h1''h2h2a?\\3h2h2h3'h3'a?\\1h3h3h1'a],\2h1
式中??为倒格原胞体积,于是得到
h1'1Kh??Kh'?Kh\??h3\??h1h1? h1'h1\h2'h2\h2h3h3'.\h3''h2h2?h1\\h2h2h3'h3'?h2\\h3h3h1'h1\
代入(1)式,得
h1h1'h1\h2'h2\h2h3h3'?0 \h3
''13.晶面 ?h1h2h3?,h1'h2h3 的交线与晶列
??Rl?l1a1?l2a2?l3a3, 平行,证明
l1?h2'h2h3h3',l2?h3h3'h1h1,l3?'h1h1'h2'h2.
[解答]
''与晶面?h1h2h3?,h1'h2h3垂直的倒格矢分别为
??Kh?h1b1?h2b2?h3b3,Kh'?hb?hb?hb,'11'22'33
晶面的交线应同时与Kh和Kh'垂直,即与Kh?Kh'平行,而
h1Kh?Kh'?'h1??2??h2h2b?b2?''1h2h2a3?h2'h2h3h3b2?b3?'h3'h3h1?a2?,h1?h1b3?b1h1?h1?'?h1h2'h2h3h3a?1h3'h3'
式中 ???b1??b2?b3? 为倒格原胞体积 ,a1,a2,a3 为正格原胞基矢
''已知晶面?h1h2h3?,h1'h2h3的交线与晶列Rl?l1a1?l2a2?l3a3平行,即Rl和
??Kh'?Kh\平行,因此l1,l2,l3 可取为 l1?h2h'2h3h'3,l2?h3h'3h1h'1,l3?h1h'1h2h'2.
14．今有正格矢 u?la1?ma2?na3,v?l'a1?m'a2?n'a3, w?l\a1?m\a2?n\a3.其中l,m,n; l',m',n'及l\,m\,n\均为整数,试证u,v,w 可选作基矢的充分条件是
lnl'n'l\m\??1. n\mm'[解答] 解法一:
固体物理原胞的选取方法有无数种,但它们有一个无同的特点,即它们的体积都相等,是晶体的最小重复单元。因此 u,v,w 可选作基矢的充分条件是，由基矢
u,v,w 构成的原胞体积一定等于由基矢a1,a2,a3 构成的原胞体积，即
u??v?w??a1??a2?a3??? 将
u?la1?ma2?na3,v?l'a1?m'a2?n'a3, w?l\a1?m\a2?n\a3代入u??v?w?得
u??v?w?
?u?l'm\?m'l\?a1?a2??m'n\?n'm\?a2?a3??n'l\?l'n\?a2?a3??nl'm\?m'l\??lm'n\ll'?mm'nn'l\m\?.n\????????nm???m?nl'\?'\?l'n\?????
将上式代入（1）得
lnl'n'l\m\??1. n\mm'
解法二：
设a1?xu?yv?zw，当u,v,w为基矢时，x,y,z应取整数值，将
u?la1?ma2?na3,v?l'a1?m'a2?n'a3, w?l\a1?m\a2?n\a3.代入a1?xu?yv?zw 得
a1?xu?yv?zw?xl?yl'?zl\a1?xm?ym'?zm\a2?xn?yn'?zn\a3. ?xl?yl'?zl\?1?由此得方程组?xm?ym'?zm\?0
?xn?yn'?zn\?0?解方程得
??????1l'1x?0m'?0n'l\m\,n\l1l\1y?m0m\,?n0n\ll1z?mm'?nn'll'??mm'nn''10,0l\m\.n\
由于x,y,z的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，x,y,z为整数，因此
u,v,w可选作基矢的充分条件是
lnl'n'l\m\??1 n\mm'15．对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为?hkl?，求对应的原胞坐标中的面指数?h1h2h3? 若已知?h1h2h3?求对应的密勒指数?hkl?。
[解答]
由《固体物理教程》（1。3）式和（1。4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢b1,b2,b3 与晶胞坐标系中的倒格基矢a?,b?,c?的关系为
2???i?j?k????a??b??c??,a2??i?j?k???a??b??c??, b2?a2??i?j?k???a??b??c??.b3?ab1?也即
2?1i??b2?b3?,a22?1b??j??b3?b1?,
a22?1c??k??b1?b2?.a2a??与晶面族?hkl? 垂直的倒格矢
Khkl?ha??kb??lc??1??k?l?b1??l?h?b2??h?k?b3?211?pKh1h2h3?p?h1b1?h2b2?h3b3?,22
Kh1h2h3与晶面族 ?h1h2h3? 正交，因此，若已知晶面族的密勒指数(hkl)则原胞坐标系中的面指数
?h1h2h3??1?(k?l)?l?h??h?k??
p其中 p是(k?l),?l?h?,?h?k?的公约数 同样
Kh1h2h3?h1b1?h2b2?h3b3???h1?h2?h3?a???h1?h2?h3?b???h1?h2?h3?c??pKhkl?pha?kb?lc.''?????
Khkl与晶面族 (hkl) 正交，因此，若已知晶面族的面指数 ?h1h2h3? 则晶胞坐标系中的面指数 (hkl)?1???h1?h2?h3??h1?h2?h3??h1?h2?h3??, 'p其中 p' 是 ??h1?h2?h3?,?h1?h2?h3?,?h1?h2?h3? 的公约数。 16．证明不存在5度旋转对称轴。 [解答]