七．函数及图象
一、总述
函数及其图象是初中数学的重要内容。函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。 二、复习目标
1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标。
2、会从不同角度确定自变量的取值范围。 3、会用待定系数法求函数的解析式。
4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。 5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。 三、知识要点
一次函数 图 初等函数 二次函数 像 函 反比例函数 性 数 综 质 概 研究方法 定义 解析式 合 念 运 平面直角坐标系 点的坐标特征 用
(一)平面直角坐标系中，x轴上的点表示为(x，0)；y轴上的点表示为(0，y)；坐标轴上的点不属于任何象限。 (二)一次函数
解析式：y = kx + b(k、b是常数，k ≠0)，
当b = 0时，是正比例函数。
(1)当k ＞0时，y 随 x 的增大而增大； (2)当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。 (三)二次函数 1、解析式：
(1)一般式：y = ax2 + bx + c (a≠0 );
(2)顶点式：y = a ( x – m ) 2+ n，顶点为(m , n);
(3)交点式：y = a (x – x1 ) ( x－x2 )，与x 轴两交点是(x1,0)，(x2,0)。 2、抛物线位置由a、b、c决定。
(1)a决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上;a＜0开口向下。 (2)c决定抛物线与y轴交点的位置： ① c＞0图象与y轴交点在x轴上方； ② c＝0图象过原点；
③ c＜0图象与y轴交点在x轴下方。 (3)a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴x① a、b同号对称轴在y轴左侧；
用心 爱心 专心
1
??b。 2a
② b = 0对称轴是y轴；
b4ac?b2,)。 ③ a、b异号对称轴在y轴右侧。(4)顶点(?2a4a(5)△= b2－4ac决定抛物线与 x 轴交点情况： ① △＞0抛物线与 x 轴有两个不同交点；
② △＝0抛物线与 x 轴有唯一的公共点；
③ △＜0抛物线与 x 轴无公共点。(四)反比例函数 解析式：y?k(k?0)。 x3?y与x之间的函数关系式为y??x?21
53当x?10时y???10?21?15, 5所以点燃10分钟后艾条的长为15cm.(2)艾条全部烧完，即y=0， 令?(1)k＞0时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小； (2)k＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大. 四、例题选讲
例1．为预防“非典”，小明家点艾条以净化空气，经测定艾条点燃后的长度y cm与点燃时间 x 分钟之间的关系是一次函数，已知点燃6分钟后的长度为17.4 cm，21分钟后的长度为8.4 cm。 （1）求点燃10分钟后艾条的长度。 （2）点燃多少分钟后，艾条全部烧完。 解：（1）令 y=k·x+b，
当 x=6 时，y=17.4，当x=21时 y=8.4，则
6k+b=17.4 3解得 21k+b=8.4 k??
5
b?21
3x?21?0，解得：x=35， 5因此，点燃35分钟后艾条全部烧完。
121例2．小明从斜坡O点处抛出网球，网球的运动曲线方程是y?4x?x，斜坡的直线方程是y?x，其
22中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）。
⑴网球落地时撞击斜坡的落点为A ，求出A 点的垂直高度，以及A 点与O点的水平距离。⑵求出网球所能达到的最高点的坐标。 y B 分析: （1）∵A 点的垂直高度就是点A的纵坐标，
x O A 点与O点的水平距离就是点A的横坐标，而点A既在抛物线上又在直线上
A
用心 爱心 专心
2
∴只要解抛物线方程和直线方程联立的方程组，求得方程组的解即可。
（2）求最高点即抛物线顶点B的坐标，只要把抛物线方程改写成顶点式，或者用顶点坐标的公式即可求出。
12?y?4x?x??2解得A点坐标（7，3.5）
解：(1)由方程组?，求得A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水
?y?1x??2121212(2)?y?4x?x??(x?8x)??(x?8x?42?16)2221??(x?4)2?8平距离为7米。
2?最高点B的坐标为(4,8).
1例3若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函数y??的图像上,则
x(A)y1>y2>y3 (B)y2>y1>y3 (C)y3>y1>y2 (D)y1>y3>y2分析：∵函数y?y y随着x的增大而增大，又第二象限的的函数 值大于第四象限的函数值 ∴y2>y1>y3，选(B)
?1的图像在第二、四象限， x1 x -1 O
例4.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米,
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？ (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆 隔墙，要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为 多少米？ x 解:(1)设鸡场的面积为y米,则宽为所以当x=25时，鸡场的面积最大。
2
50?x16252米，即y??(x?25)?。
33350?x(2)y?x?,n?216252配方得y??(x?25)?,
n?2n?2所以当x?25cm时,鸡场的面积最大.用心 爱心 专心
3
由（1）（2）结果可得出：不论鸡场中间有几道墙，要使鸡场面积最大，它的总长等于篱笆总长的一半。
例6．某家电生产企业跟踪市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调
器、彩电、冰箱共360台，
(4)根据图乙,自编一则新的“龟兔赛跑”的寓言故事，要求如下:
①用简洁的语言概括大意，不能超过200字；
②图中能确定的数值，在故事叙述中不能少于3个，且分别涉及时间、路程和速度。分析：乌龟的运动路径是过点(0,0)、
(35,200)的一条线段。兔子的运动路径分三段：
1)端点为(0,0)、
(5,200)的线段；
2)端点为(5,200)、(35,200)平行于横轴的线段； 3)端点为(35,200)、(40,300)的线段。
S兔?40t,(0?t?5)?乌龟追上兔子处，从图中看，就是虚线和实线的交点。解：(1)甲； ??200,(5?t?35)?20t?500,(35?t?40)?(2) 项目 线型 实线 主人公 （龟或兔） 兔 到达时间 （分） 40 最快速度 （米/分） 40 平均速度 （米/分） 虚线 龟 35 48 717 248 7(3)①S龟60?t(0?t?35);
7?40t,(0?t?5)? ??200,(5?t?35)?20t?500,(35?t?40)?用心 爱心 专心
4
S兔
②结合图像，由
607070，解得，即乌龟用分追上小兔，追及地距起点200米。 t?200t?733(4)例文：
听到发令枪响，小兔迅速向前冲去，他用了5分多钟就跑出了150米，这时，他回头一看，发现乌龟才跑出50米就不动了，原来乌龟受伤了，小兔连忙跑回来，用5分钟时间为乌龟包扎好伤口，然后，扶着乌龟一起以10米/分的速度前进，又经过了25分钟，他们终于一起到达了300米的终点。例6．图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、?第n层，第n层的小正方体的个数记为s。解答下列问题： （1）按照要求填表：
（2）写出当n=10时，s=_____； （3）根据上表中的数据，把s作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。
（4）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。
·
s
(4)经观察所描各点，它们在二次函数的图像上。设函数的解析式为S=an2+bn+c，由题意得：
1?a??2?1?121b?? 所以，S?n?n. 2?22?c?0
?例7．且冰箱至少生产60台，已知生产这些产品每台的需工时和每台产值如下表： ?，解之，得 家电名称 工时 产值（千克） 空调器 4 彩电 3 冰箱 2 a+b+c=1 4a+2b+c=3 9a+3b+c=6 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使生产之最高？最高产值是多少千元？
[分析]可设每周生产空调、彩电、冰箱分别为分别为x台、y台、z台。故有目标函数S=4x+3y+2z（即产值与家电的函数关系）。在目标函数中，由于4x+3y+2z中有三个未知数，故需消去两个未知数，得到一个一元函数，在确定这个变元的取值范围，从而可得出问题的解答。
[解]设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台。 由题意得：
由①②消去z得y=360-3x.
将⑤带入①得 x+(360-3x)+z=360，即z=2x. ∵ z≥60， ∴x≥30.
用心 爱心 专心
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