(b)求坐标系中的点p（1，5，4）相对于参考坐标系的最终位置。 解：
在本例中，相对于参考坐标系以及当前坐标系的运动是交替进行的。 (a)相应地左乘或右乘每个运动矩阵，得到：
uTB=Rot（z,90)Rot(x,90)Trans(0,0,3)Trans(0,5,0)
?0?1?10UP?UTB?BP???00??0000??1?000???10??0??01??00??1?00?10???100??0??001??000000??1?0100???013??0??001??0000?105??010??001?
(b)带入具体的矩阵并将它们相乘，得到：
?0?1???0?0 ?001010007??1??01?1?
2.6 变换矩阵的逆
正如前面所提到的，在机器人分通过析中有很多地方要用到矩阵的逆，在下面的例子中
可以看到一种涉及变换矩阵的情况。在图2.16中，假设机器人要在零件p上钻孔而须向零件
p处移动。机器人基座相对于参考坐标系u的位置用坐标系R来描述，机器人手用坐标系H来描述，末端执行器（即用来钻孔的钻头的末端）用坐标系E来描述，零件的位置用坐标系P来描述。钻孔的点的位置于参考坐标系U可以通过两个独立的路径发生联系：一个是通过该零件的路径，另一个是通过机器人的路径。因此，可以写出下面的方程：
URHT?TTT?RHE EUUTPP T E （2.24）
这就是说，该零件中点E的位置可以通过从U变换到P，并从P变换到E来完成，或者从U
变换到R，从R变换到H，再从H变换到E。
图2.16 全局坐标系、机器人坐标系、手坐标系、零件坐标系及末端执行器坐标系
事实上，由于在任何情况下机器人的基座位置在安装时就是已知的，因此变换UTR(坐标系R相对于坐标系U的变换)时已知的。比如，一个机器人安装在一个工作台上，由于它被紧固在工作台上，所以它的基座的位置时已知的。即使机器人时可移的或放在传送带上，因为控制
器始终掌控着机器人基座的运动，因此它在任意时刻的位置也是已知的。由于用于末端执行器的任何器械都是已知的，而且其尺寸和结构也是已知的，所以HTE（机器人末端执行器相对于机器人手的变换）也是已知的。此外，UTP（零件相对于全局坐标系的变换）也是已知的，还必须要知道将在其上面钻孔的零件的位置，该位置可以通过将该零件放在钻模上，让后用照相机，视觉系统，传送带，传感器或其他类似仪器来确定。最后需要知道零件上钻孔的位置，所以PTE也是已知的。此时，唯一未知的变换就是RTH（机器人手相对于机器人基座的变换）。因此，必须找出机器人的关节变量（机器人旋转关节的角度以及滑动关节的连杆长度），以便将末端执行器定位在要钻孔的位置上。可见，必须要计算出这个变换，它指出机器人需要完成的工作。后面将用所求出的变换来求解机器人关节的角度和连杆的长度。
不能像在代数方程中那样来计算这个矩阵，即不能简单的用方程的右边除以方程的左边，而应该用合适的矩阵的逆并通过左乘或右乘来将它们从左边去调。因此有：
(UTR)?1(UTRRTHHTE)(HTE)?1?(UTR)?1(UTPPTE)(HTE)?1 （2.25）
由于(UTR)?1(UTR)?1和(HTE)(HTE)?1?1，式（2.25）的左边可简化为RTH,于是得：
R TH?UTR?1UTPPTEHTE?1 （2.26）
EH?1T(T)HE该方程的正确性可以通过认为与相同来加以检验。因此，该方程可重写为：
R TH?UTR?1UTPPTEHTE?1?RTUUTPPTEETH?RTH （2.27）
显然为了对机器人运动学进行分析，需要能够计算变换矩阵的逆。
我们来看看关于x轴的简单旋转矩阵的求逆计算情况。关于x轴的旋转矩阵是：
00??1??x)??0?C??S （2.28） Ro(t, ????0S?C???必须采用一下的步骤来计算矩阵的逆：
?计算矩阵的行列式； ?将矩阵转置；
?将转置矩阵的每个元素用它的子行列式（伴随矩阵）代替； ?用转换后的矩阵除以行列式。 将上面的步骤用到该旋转，得到：
??1(C2??S2?)?0?1
00??1??xT)??0?C?S Ro(t,????0?S?C???现在计算每一个子行列式（伴随矩阵）。例如，元素2，2的子行列式是C??0?C?，元素1，1的子行列式C2??S2??1。可以注意到，这里的每一个元素的子行列式与其本身相同，因此有：
Rot(x,?T)mior(?,T )n?Rotx由于原旋转矩阵的行列式为1，因此用Rot(x,?)Tminor矩阵除以行列式仍得出相同的结果。因此，关于x轴的旋转矩阵的逆的行列式与它的转置矩阵相同，即：
Rot(x,?)?1?Rot(x,?)T （2.29）
当然，如果采用附录A中提到的第二种方法也能得到同样的结果。具有这种特征的矩阵称为酉矩阵，也就是说所有的旋转矩阵都是酉矩阵。因此，计算旋转矩阵的逆就是将该矩阵转置。可以证明，关于y轴和z轴的旋转矩阵同样也是酉矩阵。
应注意，只有旋转矩阵才是酉矩阵。如果一个矩阵不是一个简单的旋转矩阵，那么它也许就不是酉矩阵。
以上结论只对简单的不表示位置的3×3旋转矩阵成立。对一个齐次的4×4变换矩阵而言，它的求逆可以将矩阵分为两部分。矩阵的旋转部分仍是酉矩阵，只需简单的转置；矩阵的位置部分是向量P分别与n,o,a向量点积的负值，其结果为：
?nx?nF??y?nz??0?nx??oF??x?ax??0oxoyoz0nyoyay0axayaz0nzozaz0px?py?? （2.30） ?pz?1??P?n???P?o?? ?P?a?1??如上所示，矩阵的旋转部分是简单的转置，位置的部分由点乘的负值代替，而最后一行
（比例因子）则不受影响。这样做对于计算变换矩阵的逆是很有帮助的，而直接计算4×4矩阵的逆是一个很冗长的过程。 例2.10 计算表示Rot(x,40?)?1的矩阵
解：绕x轴旋转40°的矩阵为：
00?1?00.766?0.643Rot(x,40?)???00.6430.766?00?0其矩阵的逆是：
0?0?? 0??1?000??1?00.7660.6430?? Rot(x,40?)?1???0?0.6430.7660???0001?? 需注意的是，由于矩阵的位置向量为0，它与n,o,a向量的点积也为零。
例2.11 计算如下变换矩阵的逆。
?0.5?0.866T???0??0解：
根据先前的计算，变换矩阵的逆是：
00.8663?0?52??105??001?
?0.50.8660?(3?0.5?2?0.866?5?0)??0?01?(3?0?2?0?5?1)?1?T???0.866?0.50?(3?0.866?2??0.5?5?0)???0001??
0.866?0?0.5?3.2?0?01?5????0.866?0.5?0?5981.??0001? ?可以证明TT是单位阵。
例2.12 一个具有六个自由度的机器人的第五个连杆上装有照相机，照相机观察物体并测定它
相对于照相机坐标系的位置，然后根据以下数据来确定末端执行器要到达物体所必须完成的运动。
?15Tcam?00?1?0?10????100??000?0?1???0??0001010003??0?1?100?5? TH???005???1??000100001000100??0? ?4?1??0?0? ?3??1camTobj2??1?02?H? TE???04???1??0解：
参照式（2.24），可以写出一个与它类似的方程，它将不同的变换和坐标系联系在一起。
RT5?5TH?HTE?ETobj?RT5?5Tcam?camTobj
由于方程两边都有RT5，所以可以将它消去。除了ETobj之外所有其他矩阵都是已知的，所以：
ETobj?HTE?1?5TH?1?5Tcam?camTobj?ETH?HT5?5Tcam?camTobj
00??1??100?5?TH?1???01?3???01? ?0将矩阵及矩阵的逆代入前面的方程，得：
?1?0???0??0??1?0???0??0?1?0HTE?1???0??001000100100000?00??1?4??01?
ETobj00??0??100???1?3??0??01??0100000??00?1?0?1000???1?4???100??01??0003??0?10???5??0??1??0001010002?2??4??1?ETobj00?2?101??0?1?4??001?
2.7 机器人的正逆运动学
假设有一个构型已知的机器人，即它的所有连杆长度和关节角度都是已知的，那么计算机器人手的位姿就称为正运动学分析。换言之，如果已知所有机器人关节变量，用正运动学方程就能计算任一瞬间机器人的位姿。然而，如果想要将机器人的手放在一个期望的位姿，就必须知道机器人的每一个连杆的长度和关节的角度，才能将手定位在所期望的位姿，这就叫做逆运动学分析，也就是说，这里不是把已知的机器人变量代入正向运动学方程中，而是要设法找到这些方程的逆，从而求得所需的关节变量，使机器人放置在期望的位姿。事实上，逆运动学方程更为重要，机器人的控制器将用这些方程来计算关节值，并以此来运行机器人到达期望的位姿。下面首先推导机器人的正运动学方程，然后利用这些方程来计算逆运动学方程。
对正运动学，必须推导出一组与机器人特定构型（将构件组合在一起构成机器人的方法）有关的方程，以使得将有关的关节和连杆变量代入这些方程就能计算出机器人的位姿，然后可用这些方程推出逆运动学方程。
根据第一章中的相关内容，要确定一个刚体在空间的位姿，须在物体上固连一个坐标系，然后描述该坐标系的原点位置和它三个轴的姿态，总共需要六个自由度或六条信息来完整地定义该物体的位姿。同理，如果要确定或找到机器人手在空间的位姿，也必须在机器人手上固连一个坐标系并确定机器人手坐标系的位姿，这正是机器人正运动学方程所要完成的任务。换言之，根据机器人连杆和关节的构型配置，可用一组特定的方程来建立机器人手的坐标系和参考坐标系之间的联系。图2.17所示为机器人手的坐标系、参考坐标系以及它们的相对位姿，两个坐标系之间的关系与机器人的构型有关。当然，机器人可能有许多不同的构型，后面将会看到将如何根据机器人的构型来推导出与这两个坐标系相关的方程。
为使过程简化，可分别分析位置和姿态问题，首先推导出位置方程，然后再推导出姿态方程，再将两者结合在一起而形成一组完整的方程。最后，将看到关于Denavit-Hartenberg表示法的应用，该方法可用于对任何机器人构型建模。