?nx?nRTH??y?nz??0oxoyoz0axayaz0px??0.579?0.548?0.604?0.5400.813?0.220py????pz??0.611?0.1990.766??1??0005?7?? 3??1?解：根据前面的方程，得到：
??ATAN2?ay,ax??ATAN2??0,220,?0.604??20?或200?
将20?和200?的正弦值和余弦值应用于其他部分，可得：
??ATAN2??nxS??nyC?,?oxS??oyC????0.31,0.952??18?或198? ??ATAN2?axC??ayS?,az??ATAN2??0.643,0.766???40?或40?
2.7.2.3 链式关节
链式关节由3个旋转组成，而不是上面刚提出来的旋转模型，这些旋转取决于关节的设计。就像在2.7.1（d）中所做的那样，我们将在讨论D-H表示法时来推导表示链式关节的矩阵。
2.7.3 位姿的正逆运动学方程
表示机器人最终位姿的矩阵是前面方程的组合，该矩阵取决于所用的坐标。假设机器人的运动是由直角坐标和RPY的组合关节组成，那么该坐标系相对于参考坐标系的最终位姿是表示直角坐标位置变化的矩阵和RPY矩阵的乘积。它可表示为：
RTH?Tcart?Px,Py,Pz??RPY??a,?o,?n? （2.49）
如果机器人是采用球坐标定位、欧拉角定姿的方式所设计的，那么将得到下列方程。其中位置由球坐标决定，而最终姿态既受球坐标角度的影响也受欧拉角的影响。
RTH?Tsph?r,?,???Euler??,?,?? （2.50）
由于有多种不同的组合，所以这种情况下的正逆运动学解不在这里讨论。对于复杂的设计，推荐用D_H表示法来求解，并将在下面对此进行讨论。
2.8 机器人正运动学方程的D-H表示法
在1955年，Denavit和Hartenberg在“ASME Journal of Applied Mechanics”发表了一篇论文，后来利用那个这篇论文来对机器人进行表示和建模，并导出了它们的运动方程，这已成为表示机器人和对机器人运动进行建模的标准方法，所以必须学习这部分内容。Denavit-Hartenberg(D_H)模型表示了对机器人连杆和关节进行建模的一种非常简单的方法，可用于任何机器人构型，而不管机器人的结构顺序和复杂程度如何。它也可用于表示已经讨论过的在任何坐标中的变换，例如直角坐标、圆柱坐标、球坐标、欧拉角坐标及RPY坐标等。另外，它也可以用于表示全旋转的链式机器人、SCARA机器人或任何可能的关节和连杆组合。尽管采用前面的方法对机器人直接建模会更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好处，使用它已经开发了许多技术，例如，雅克比矩阵的计算和力分析等。
假设机器人由一系列关节和连杆组成。这些关节可能是滑动（线性）的或旋转（转动）的，它们可以按任意的顺序放置并处于任意的平面。连杆也可以是任意的长度（包括零），它可能被弯曲或扭曲，也可能位于任意平面上。所以任何一组关节和连杆都可以构成一个我们想要建模和表示的机器人。
为此，需要给每个关节指定一个参考坐标系，然后，确定从一个关节到下一个关节（一
个坐标系到下一个坐标系）来进行变换的步骤。如果将从基座到第一个关节，再从第一个关节到第二个关节直至到最后一个关节的所有变换结合起来，就得到了机器人的总变换矩阵。在下一节，将根据D-H表示法确定一个一般步骤来为每个关节指定参考坐标系，然后确定如何实现任意两个相邻坐标系之间的变换，最后写出机器人的总变换矩阵。
图2.25 通用关节—连杆组合的D-H表示
假设一个机器人由任意多的连杆和关节以任意形式构成。图2.25表示了三个顺序的关节和两个连杆。虽然这些关节和连杆并不一定与任何实际机器人的关节或连杆相似，但是他们非常常见，且能很容易地表示实际机器人的任何关节。这些关节可能是旋转的、滑动的、或两者都有。尽管在实际情况下，机器人的关节通常只有一个自由度，但图2.25中的关节可以表示一个或两个自由度。
图2.25（a）表示了三个关节，每个关节都是可以转动或平移的。第一个关节指定为关节n，第二个关节为关节n+1，第三个关节为关节n+2。在这些关节的前后可能还有其他关节。连杆也是如此表示，连杆n位于关节n与n+1之间，连杆n+1位于关节n+1与n+2之间。
为了用D-H表示法对机器人建模，所要做的第一件事是为每个关节指定一个本地的参考坐标系。因此，对于每个关节，都必须指定一个z轴和x轴，通常并不需要指定y轴，因为y轴总是垂直于x轴和z轴的。此外，D-H表示法根本就不用y轴。以下是给每个关节指定本地参考坐标系的步骤：
? 所有关节，无一例外的用z轴表示。如果关节是旋转的，z轴位于按右手规则旋转的
方向。如果关节是滑动的，z轴为沿直线运动的方向。在每一种情况下，关节n处的z轴（以及该关节的本地参考坐标系）的下表为n-1。例如，表示关节数n+1的z轴
是zn。这些简单规则可使我们很快地定义出所有关节的z轴。对于旋转关节，绕z轴的旋转（?角）是关节变量。对于滑动关节，沿z轴的连杆长度d是关节变量。
? 如图2.25（a）所示，通常关节不一定平行或相交。因此，通常z轴是斜线，但总有
一条距离最短的公垂线，它正交于任意两条斜线。通常在公垂线方向上定义本地参考
坐标系的x轴。所以如果an表示zn?1与zn之间的公垂线，则xn的方向将沿an。同样，在zn与zn?1之间的公垂线为an?1，xn?1的方向将沿an?1。注意相邻关节之间的公垂线不
一定相交或共线，因此，两个相邻坐标系原点的位置也可能不在同一个位置。根据上面介绍的知识并考虑下面例外的特殊情况，可以为所有的关节定义坐标系。
? 如果两个关节的z轴平行，那么它们之间就有无数条公垂线。这时可挑选与前一关节
的公垂线共线的一条公垂线，这样做就可以简化模型。
? 入股两个相邻关节的z轴是相交的，那么它们之间就没有公垂线（或者说公垂线距离
为零）。这时可将垂直于两条轴线构成的平面的直线定义为x轴。也就是说，其公垂线是垂直于包含了两条z轴的平面的直线，它也相当于选取两条z轴的叉积方向作为x轴。这也会使模型得以简化。
在图2.25（a）中，?角表示绕z轴的旋转角，d表示在z轴上两条相邻的公垂线之间的距离，a表示每一条公垂线的长度（也叫关节偏移量），角?表示两个相邻的z轴之间的角度 （也叫关节扭转）。通常，只有?和d是关节变量。 下一步来完成几个必要的运动，即将一个参考坐标系变换到下一个参考坐标系。假设现在位于本地坐标系xn?zn，那么通过以下四步标准运动即可到达下一个本地坐标系xn?1?zn?1。 （1）绕zn轴旋转?n?1（如图2.25（a）与（b）所示），它使得xn和xn?1互相平行，因为an和an??都是垂直于zn轴的，因此绕zn轴旋转?n?1使它们平行（并且共面）。 （2）沿zn轴平移dn?1距离，使得xn和xn?1共线（如图2.25（c）所示）。因为xn和xn?1已经
平行并且垂直于zn，沿着zn移动则可使它们互相重叠在一起。
（3）沿xn轴平移an?1的距离，使得xn和xn?1的原点重合（如图2.25（d）和（e）所示）。
这是两个参考坐标系的原点处在同一位置。
（4）将zn轴绕xn?1轴旋转?n?1，使得zn轴与zn?1轴对准（如图2.25（f）所示）。这时坐标系n和n+1完全相同（如图2.25（g）所示）。至此，我们成功地从一个坐标系变换
到了下一个坐标系。
在n+1和n+2坐标系间严格地按照同样的四个运动顺序可以将一个坐标变换到下一个坐标系。如有必要，可以重复以上步骤，就可以实现一系列相邻坐标系之间的变换。从参考坐标系开始，我们可以将其转换到机器人的基座，然后到第一个关节，第二个关节??，直至末端执行器。这里比较好的一点是，在任何两个坐标系之间的变换均可采用与前面相同的运动步骤。 通过右乘表示四个运动的四个矩阵就可以得到变换矩阵A，矩阵A表示了四个依次的运动。由于所有的变换都是相对于当前坐标系的（即他们都是相对于当前的本地坐标系来测量与执行），因此所有的矩阵都是右乘。从而得到结果如下：
nTn?1?An?1?Rot?z,?n?1??Tran?0,0,dn?1??Tran?an?1,0,0??Rot?x,an?1?
?C?n?1?S?n?1?S?C?n?1n?1???00?0?0?1?0???0??0010000100??1?00????0??0??1??0010000?00?? 1dn?1??01?0?0?? （2.51） 0??1?0an?1??100?0C?00??S?n?1n?1???10??0S?n?1C?n?1??01??000?C?n?1?S?n?1C?n?1S?n?1S?n?1an?1C?n?1??S??C?C??C?S?aS?n?1n?1n?1n?1n?1n?1n?1? （2.52） An?1???0S?n?1C?n?1dn?1???001?0?比如，一般机器人的关节2与关节3之间的变换可以简化为：
?C?3?S?2 T3?A3??3?0??0?S?3C?3C?3C?3S?30S?3S?3?C?3S?3C?30a3C?3?a3S?3?? （2.53） d3??1? 在机器人的基座上，可以从第一个关节开始变换到第二个关节，然后到第三个??，再到机器人的手，最终到末端执行器。若把每个变换定义为，则可以得到许多表示变换的矩阵。在机器人的基座与手之间的总变换则为：
RTH?RT11T22T3?n?1Tn?A1A2A3?An （2.54）
其中n是关节数。对于一个具有六个自由度的机器人而言，有6个A矩阵。 为了简化A矩阵的计算，可以制作一张关节和连杆参数的表格，其中每个连杆和关节的参数值可从机器人的原理示意图上确定，并且可将这些参数代入A矩阵。表2.1可用于这个目的。 在以下几个例子中，我们将建立必要的坐标系，填写参数表，并将这些数值代入A矩阵。首先从简单的机器人开始，以后再考虑复杂的机器人。
表2.1 D-H参数表 ? d a 例2.19 对于如图2.26所示的简单机器人，根据D-H表示法，建立必要的坐标系，并填写相应的参数表。
解：
# 1 2 3 4 5 6 ? 为方便起见，在此例中，假设关节2，3和4在同一平面内，即它们的dn值为0。为建
立机器人的坐标系，首先寻找关节（如图2.26所示）。该机器人有六个自由度，在这个简单机器人中，所有的关节都是旋转的。第一个关节（关节1）在连杆0（固定基座）和连杆1之间，关节2在连杆1和连杆2之间，等等。首先，如前面已经讨论过的那样，对每个关节建立z轴，接着建立z轴。观察图2.27和图2.28所示的坐标可以发现，图2.28是图2.27的简化线图。应注意每个坐标系原点3在它所在位置的原因。
图2.26 具有六个自由度的简单链式机器人
图2.27 简单六个自由度链式机器人的参考坐标系
图2.28 简单六个自由度链式机器人的参考坐标系线图
从关节1开始，z0表示第一个关节，它是一个旋转关节。选择x0与参考坐标系的x轴平行，这样做仅仅是为了方便，x0是一个固定的坐标轴，表示机器人的基座，它是不动的。第一个关节的运动是围绕着z0-x0轴进行的，但这两个轴并不运动。接下来，在关节2处设定z1，因为坐标轴z0和z1是相交的，所以x1垂直于z0和z1。x2在z1和z2之间的公垂线方向上，x3在
z2和z3之间的公垂线方向上，类似地，x4在z3和z4之间的公垂线方向上。最后，z5和z6是平