解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系
??vpq ????????（1）
那么格波的状态密度为
?(?)?V1??4?q2 3(2?)d?dq ????????（2）
V?2 ??2?2v3p?m又根据 ??(?)d??3N 0将（2）式代入（3）式得
?m2
?V?2??3d??3N 02vp由（4）式可得 v3?V?3mp18?2N 把（5）式代入（2）式即可得 ?(?)?9N2?3?
m
6.证明一维单原子链的频率分布函数为?(?)?2N4．????2m 解：设原子质量为m，晶格常数为a，设链上含有N个原子， 对于一维单原子晶格的态密度为：Na2?
dq间隔内的状态数dn?Na2?2dq?Na?dq 又
??2(?12aqm)sin2
所以
?1d??a()2cosaqdq?dq?1m2d?1
a(?)2mcosaq2
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????????（3）
????????（4）????????（5）
所以dn?NadqNad???d??1?aqa()cosm212d?
又因为：dn?????d?
2N4????2m
所以
?(?)?
1，写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3，）中，简约波数k??的0级波函数。 5a?k?k?m2?a
??k0?1Leikx[1Lei2?mxa
?????第一区：?, n=1,m=0 k?k??5a?aa?? ??0?1Le5ai?x
??2????,????9???aa?第二区：k?? k? k??5a5a???,2???????aa? n=2, m??1 ???01Le?i9?x5a
??3?2???,????11???aa?? 第三区：? k? k?5a5a??2?,3???????aa? n=3,m?1 ??0?1Lei11?x5a 2.写出
一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3，）中，简约波数k???3a的0级波函数。
?k?k?m2?aikx
???0k1Le[1Lei2?mxa
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??2????,????ix?1?????aa?0?3a第一区：?, n=1,m=0 k?k?? ??? 第二区： k?e???3aL?aa????,2???????aa??5?k?? k?3a3a? n=2,m=1 ??0?1Lei5?x3a
??3?2???,?????7???aa? 第三区：? k?? k??3a3a??2?,3???????aa?1?i3ax n=3,m??1 ??? eL07?5. 若一晶体中含有N个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)(单原子的) ③体弹性模量
1???rm??rn．试求： ①平衡间距 ②结合能w
?u(r)m?n?n?n?m 解：①() )r0?m?1?n?1?0 得r0?(m??rr0r011???m ②结合能(单原子的) w?u(r0)?(m?n)?(1?) m22r0nr02r0??2U??2U ③体弹性模量K??V()?V0(2)V0 2??V??V?V0晶体中含有N个原子,设最近邻原子间距为r，则有V?Nr3，平衡时晶体体积为V0?Nr03.
??r???U????r???r?U???1??1?U???2U(2)V0??????????????? 22?V?r?V?V?r?V?r?r?r?V3Nr3Nr???V0????V0????r0??111?U?1????????222?3Nr6Nr?r??r0?3Nr3Nr上式的第一项为零，所以
??2U?????r2??? ???r02?1?2U1(2)V0???22?V?3Nr3Nr2??2U??1?????r2??24???r09Nr0??2U?r0???2??r2???r09V0??2U????r2?? ??r0r0?2U所以 K?()r
9V0?r20NN??N?u(r)|?(?m?n)?(n?m) U?|m22rr2nr0?2UN?m(m?1)?n(n?2)?????? ? m?2n?22??r2r0r0???n?N1n(n?1)?n?mr?[?m(m?1)??] ? 又0n?mm?2r0m?2r0 ?
Nm?2r0m?2(n?m)
r0Nm?(n?m) 所以K?m?29V02r0
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平衡时晶体内原子间的总的相互作用势能为
NN?mw??(1?) m22r0nmnU0 得 K?
9V0U0?7.若一晶体中含有N个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)??21?．试求： ①平衡间距r0； ②结合能
r6r12w (单原子的)； ③体弹性模量。
解：①(?u(r)?r)?1212r0r7?13?0 得r0?1 0r0 ②结合能(单原子的) w?112u(r2110)?2(r6?12)?
0r02③体弹性模量K????2U??2 U?V(?V2)???V0(V0?V2)V0 晶体中含有N个原子,设最近邻原子间距为r，则有V?Nr3，平衡时晶体体积为V30?Nr0.
(?2U??r???U?????r???r?U???V2)V0????V?r???V??????V?r???V?r???????1??2?1?U??2?? V0?V0?3Nr?r?3Nr?r??r0????11???1??3Nr2?U?6Nr?r???2?12??2U??r?0?3Nr3Nr??r2???? ?r0上式的第一项为零，所以
2(?2U?11?22)V??2U??1??V0?????3Nr2?3Nr2???U?????r2??????24r09Nr0??r2???r02??2U?r09V0?r2?? ??r02所以 K?r0?29V(Ur2)r0
0? U?N2u(r)?N212(?r6?r12) ????2U???r2????N?42?212?13?r02????r8?0r14??N[?84?156]?36N0??2
2 所以K?r09V36N?1?36N?4
09N
8.若一晶体中含有N个原子，原子间的平均相互做用能可以表为u(r)??Ar6?Br12．试求： ①平衡间距r0；w (单原子的)； ③体弹性模量。
解：①(?u(r)1?r)?6A12B2Br0r7?13?0 得r0?()6 0r0A ②结合能(单原子的) w?12u(r1ABA1AA20)?2(r6?12)?6(1?)?6?
0r02r024r08B ③体弹性模量K????V(?2U??2U?V2)???V0(2)V0V0?V 晶体中含有N个原子,设最近邻原子间距为r，则有V?Nr3，平衡时晶体体积为V0?Nr30.
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②结合能
??r???U?2U(2)V0????V?r?V??V???r???r?U???1??1?U???????????????? 22??V0??V?r??V?r??V0?3Nr?r?3Nr?r??r0?111?U?1????????222?3Nr6Nr?r??r0?3Nr3Nr上式的第一项为零，所以
??2U?????r2??? ???r02?1?2U1(2)V0???22?V?3Nr3Nr2??2U??1??????r2?24???r09Nr0??2U?r0???2??r2???r09V0??2U????r2?? ??r0r0?2U所以 K?(2)r0
9V0?rNNABu(r)?(?6?12) U?22rr??2U?N?42A12?13B? ???r2???2??r8?r14?
????r00?0?2BN112?13B6r? ? 又 [?42A?]06A2r08r0 ??N1[?42A?78A] 82r018NAr082
r018NA2NA2NANA2NA2 所以K??????8632B9V0r0V0BNr0BV0r0V0A力常数为C, 求其2N个格波解。并试求在kA22BBA?A2AB2B
10.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为a,两个原子的质量分别为M1和M2,只计入最近邻原子间的相互作用,设
a解：对于一维双原子链，设第2n个原子质量为M1，第2n?1个原子质量
为M2，如图：
?0和k??处的?(k).(备注M1?M2)
??2n?C(?2n?1??2n?1?2?2n) ① 对于M1： M1???2n?1?C(?2n?2??2n?2?2n?1) ② 对于M2： M2? 设试探解：?2n?Aei(?t?2naq), ?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]
2代入①, ②化简得： (M1??2C)A?(2Ccoaqs)B?0 (2Ccosaq)A?(M2??2C)B?0
2有非零解的条件是：
M1?2?2C2Ccosaq12Ccosaq?0M2?2?2C 解得 ：
C22??[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1co2saq)2]
M1M22?
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