q?0时,??2max2C(M1?M2)C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?， M2M1M2M111??2minC22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?0 M2M1?2minq???2时，?2CM1C2C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M211，
??max22CM22CC22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M1
13.考虑一双原子链的晶格振动，链最近邻原子间的力常数交错地等于c和10c,令两种原子质量相等,并且最近邻的间距是
a2,试求在k?0和k?如图所示：
?a处的?(k)．
解：设原子质量为m力常数为c和c??10c
振动方程
?2n?c(x2n?1?x2n)?c?(x2n_x2n?1)x?m? ????mx?c(x?x)?c(x?x)2n?22n?12n?12n?2n?1a?i(?t?2nq)?2?x2n?Ae试探解： ? a?i[?t?q(2n?1)]2?x?2n?1?Be将上式与 c'?10c代入振动方程得：
aqaq?i?i??222??11c??mA?10ce?ceB?0?????? ?aqaqi?i????ce2?10ce2?A?11c??2mB?0??????????有非零解的条件是：
?11c??m?210ceiaq2?ce2?iaq2ce解得：
iaq2?10ce?iaq2?11c??m?1?0
1??[10c?(101c2?20ccoaqs)2]
m2?
- 11 -
q?0时 q?? ?max??min?2?2?22c m
??m?22in?0
?2时
20c m ?max?2c m
14.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为a,两个原子的质量分别为M1和M2,只计入最近邻原子间的相互作用,设力常数为C, 求其2N个格波解。并试求在ka解：对于一维双原子链，设第2n个原子质量为M1，第2n?1个
原子质量为M2，如图： 对于①
M1：
?0和k??处的?(k).(备注M1?M2)
??2n?C(?2n?1??2n?1?2?2n) M1???2n?1?C(?2n?2??2n?2?2n?1) 对于M2： M2?②
设试探解：?2n?Aei(?t?2naq), ?2n?1?Bei[?t?(2n?1)aq]
代入①, ②化简得： (M1?2?2C)A?(2Ccoaqs)B?0 (2Ccosaq)A?(M2?2?2C)B?0
有非零解的条件是：
M1?2?2C2Ccosaq12Ccosaq?0M2?2?2C 解得 ：
C22??[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1co2saq)2]
M1M22?
q?0时,??2max2C(M1?M2)C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?， M2M1M2M111??2minC22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]?0 M2M1?2q???2时，?min2CM1C2C22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M211，
??2max2CM22CC22?[(M1?M2)?[M2?M1?2M2M1)2]??M2M1M2M1M1s
15.用紧束缚近似，求出简单立方晶格s态原子能级相对应的能带E解:在紧束缚近似下与原子能级S态相对应能带Es?k?函数，并求出能带宽度。
?k?函数:
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Es?k???i?J0?Rs?Nearest???ik??R?J(Rs)es (RS为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为a)
J0????i(?)[U(?)?V(?)]d?
s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，J(Rs)具有相同的值J1
*J?J(R)???(??Rs)[U(?)?V(?)]?i(?)}d??01si?
?2?????J(Rs)。
所以能量本征值为：Es?k???i?J0?J1?e???ik?Rs
Rs?Nearest体心立方：6个近邻: ((?a,0,0),(0,?a,0),(0,0,?a),) Es?k???i?J0?J1?e=?i01x???ik?Rs ??i?J?J?e01ikxa?e?ikxa?eikya?e?ikya?e?eikza?ikza?
Rs?Nearest?J?2J?coska?coska?coska?
yz由此可知，当k???????0,0,0?时，即能带底的能量为E???J?6J；当k???,?,??，即能带顶的
?aaa?mins00能量为Emax???J?6Js
s能带宽度为?E?E?E?12Jmaxmin117.用紧束缚近似，求出体心立方晶格s态原子能级相对应的能带E解:在紧束缚近似下与原子能级S态相对应能带E Es?k?函数。
s?k?函数:
?k???i?J0?Rs?Nearest???ik??R?J(Rs)es (RS为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为a)
J0????i(?)[U(?)?V(?)]d?
?2????s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，J(Rs)具有相同的值J1?J(Rs)。
J1?J(Rs)????i*(??Rs)[U(?)?V(?)]?i(?)}d??0s所以能量本征值为：E?k???i?J0?J1?e???ik?Rs
Rs?Nearest体心立方：8个近邻: Es?k???i?J0?J1Rs?Nearesta(?1,?1,?1) 2???ik?Rs?e
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aaaaaaaakx?iky?ikzikx?iky?ikz?ikxiky?ikz???ia?e2e2e2?e2e2e2?e2e2e2??a?aaaaaaaaikyikz?ikz?ikxikzikz??ikx?ikzikz???i?J0?J1?e2e2e2?e2e2e2?e2e2e2?
?iakx?iakziakziakyiakziakz???e2e2e2e2e2e2????? =?i
?J0?8J1cosaaakxcoskycoskz 222s18.用紧束缚近似，求出面心立方晶格s态原子能级相对应的能带E解:在紧束缚近似下与原子能级S态相对应能带E Es?k?函数。
s?k?函数:
?k???i?J0?Rs?Nearest???ik??R?J(Rs)es (RS为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为a)
J0????i(?)[U(?)?V(?)]d?
s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，J(Rs)具有相同的值J1
?2?????J(Rs)。
J1?J(Rs)????i*(??Rs)[U(?)?V(?)]?i(?)}d??0s所以能量本征值为：E?k???i?J0?J1?e???ik?Rs
Rs?Nearest（1）
?a??1,1,0??1,?1,0?对于面心立方：有12个最近邻原子??2??1,0,?1??0,1,1??a??aa??aa??a,?,0?,??,0,??,?0,?,??;
2??22??22??2s?1,0,1??0,1,?1?
或写为：?? E?k???i?J0?J1?e???ik?Rs
Rs?Nearestaaaaakx?iky?ikxiky?ikx?ikz??ia?e2e2?e2e2?e2e2 =?i?J0?J1?aaaaaa?iky?ikzikx?ikz??i2kxi2kze?e2e2?e2e2?eaakxikx?ikz??ia?aa?e2cosky?e2cosky?e2cosaky?222??
=?i?J0?2J1aa?iak??ikx?ikxzaaa???e2cosky?e2coskz?e2coskz??222???????
=?i
aaaaaa???J0?4J1?coskxcosky?coskxcoskz?coskzcosky?
222222??- 14 -
- 15 -