解：如图（a）所示，将空间分成 三个区域， 应用1.4.4题的结果可得：
?（1）?区域内（r ?E??当 ?1? r2??0r??方向一致?1?0时，E?的方向与r ?? 方向相反。 当 ?1?0时， E? 的方向与 r 区域内：（r?R2): ????2? E?1r2??0r?? 方向一致。 当 ?1??2?0 时， E? 方向与 r?? 方向相反。 当 ?1??2?0 时， E? 方向与 r ??（2）若?1???2时，则E1,E?不变。 ??1??2?0? ?E??0E—r曲线如图（b） 1.5.1 设有一个电量q=1.5?10?8（库仑）的电电荷。试求：（1）电位为30伏特的等位面的半径有多大？（2）电位差为1.0伏特的任意两个等位面，其半径之差是否相同？ 解：（1）选无限远为电位参考点，根据电电荷电位公式 U?q4??0r得： 1.5?10?8 30? 4??8.9?10?12r ?r?4.5(米） （2）设半径差为?r,则r2?r1??r, 根据电位差公式得： Vq4??0(11?)r1r1??r?V?1.（伏）04??0?r??r1(r1??r)q 4??04??02 ?r(1?)?r1qq??r?r1q24??0?r1 从上式看出，当r1取不同值时，?r值不等。 1.5.2 如图所示，两个点电荷的电量分别为q与-3q,，其间距离 为d，求：（1）在它们连线中间U=0的点和（2）在连线上?E?0的点在什么位置？ 解：建立如图所示坐标，设其原点在q所在出。 （1） 设电位U=0的点的坐标是x, 点电荷q在该点的电位为：Uq?q4??0x 点电荷-3q在该点的电位为：U?3q?? 根据电位迭加原理得： 3q 4??0(d?x)U?Uq?U?3q?q4??0x?3q4??0(d?x) ?q4??0[d?4x]?0 x(d?x)?d?4x?0d 4?（2）设E?0的点的坐标为x? x?? 点电荷q在该点产生的场强：Eq??q4??0x?2?i ? 点电荷-3q在该点产生的场强：E?3q??3qi 4??0(x??d)2 由场强迭加原理得： ??? E?Eq?E?3q??q?q3q ?i22??4??0x4??0(x?d)?13 =[?]i 4??0x?2(x??d)22x?2?2x?d?d2? =i=0 24??0x?(x??d)q即：2x?2?2x?d?d2?0 d(1?3) 2d x???(1?3) 符合题意。 2d x???(1?3)不符合题意应舍去。 21．5．3如图所示，假如在电场中某一部分的电力线的形状是以O点为中心的通信圆弧。试证明：该部分上各点的电场强度都与该点离O点的距离成反比。 证：利用环路定理，如果过1，2两点做一闭和环路： ?x??? dl1?r1d? dl2?r2d? ?????????? ?E?dl??E1?dl1??E2?dl2??E12?dr??E21?dr21?0 12 ???? ?E12?r12 E21?r21 ???? ? ?E1dl1??E2dl2?E1dl1?E2dl2?0 ?E1r1d??E2r2d? ?E1r2? E2r1 说明每点的电场强度都与该点离O的距离成反比。 1.5.4证明：在静电场中凡是电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定 处处相等：或者换句话说，凡是电场强度的方向处处相同的地方，电场强度的大小必定处处相等。 （提示：利用高斯定理和环路定理，分别证明沿同一电力线和不同电力线上任意两点的场强相等。） 证：先证明同一条电力线上任意两点A,B场强相等。过A,B两点以该条电力线为轴做以闭合的圆柱面，如图所示，底面积?S?0，即认为上场强相同，由高斯定理得： ?EA?S?EB?S?0 ?EA?EB 点C,D场强相等。过C,D两点做如图所示的矩形积分环路，由环路定理得： ?ECl?EDl?0 ?EC?ED ?（注：此处L不一定趋于无限小，为已证明电力线上各点E都相等。）[证毕] 1.5.5如图所示，AB=2L, OCD是以B为中心，L为半径的半圆。A点有正点电荷+q,B点有负点电荷-q. (1)把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功？ （2）把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处，电场力对它作了多少功？ 解：根据点位叠加原理： U0?qq(?)?0 4??0LL1??UD?14??0(qqq ?)??3LL6??0L?（1） 电场力把单位正电荷（即q0??1）从D点沿OCD移到点D所做的 功： ?q) A??q0(U0?UD)?qo(0?6??LOCDo = q6??0L （2） 场力把单位负电荷（即q0??1）从D点移到无穷远处所作的功： AD??q(UD?U?)?qo(0??q6??oL)= q6??0L 1.5.6电荷Q均匀分布在半径为R的球内，证明离球心r处（r Q(3R2?r2) U? 38??0R证明：利用高斯定理求得球内外任一点场强： E内?Qr 4??0R3Q4??0r2 E外? 离球心r处（r ????R?U??E内?dl??E外?dl rR = Q4??0R3?Rrrdr + dr 2?R4??0rQ?Q(R2?r2)Q = + 334??0R8??0RQ(3R2?r2)8??0R3= 证毕。 1．5．7 求1。4。7 题中两条平等的无限长均匀带异号电荷的直线，在空间任一点的电位。选无限远为电位参考点。 解： 利用迭加原理求空间任一点p(x,y)的电位： 一条无限长直带电线 在p点的场强： ? E???r 2??0r在这种情况下不能选无限远外为电位参考 （指一条无限长直带电 的情况），因为电荷分布不是在有限区域内， 选用与带电线相距rQ远的Q点作为参考点，如图所示。 对带正电荷的直线： U?= ?rQ?r?rQ??? drr??ln2??0r?2??0rQ?