思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证． 解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，
??AOE??OBG???AEO??OGB?90?， ?OA?OB?∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，
∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF， ∴AF-OE=OE-BF， ∴AF+BF=2OE；
（2）图2结论：AF-BF=2OE， 图3结论：AF-BF=2OE．
对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，
??AOE??OBG???AEO??OGB?90?， ?OA?OB?∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，
∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF， ∴AF-OE=OE+BF， ∴AF-BF=2OE；
若选图3，其证明方法同上．
点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．
对应训练 4．（2013?锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF． （1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=1∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之2间的数量关系．并证明你的猜想．
4．（1）EF=BE+DF，
证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°， 在△ADF和△ABQ中
?AB?AD???ABQ??D， ?BQ?DF?∴△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF， ∵∠DAB=90°，∠FAE=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠BAE+∠BAQ=45°， 即∠EAQ=∠FAE， 在△EAQ和△EAF中
?AE?AE???EAQ??EAF， ?AQ?AF?∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．
（2）解：AM=AB， 理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ， ∴11×BQ×AB=×FE×AM， 22∴AM=AB． （3）AM=AB， 证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵折叠后B和D重合， ∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=在△ADF和△ABQ中 1∠BAD， 2?AB?AD???ABQ??D， ?BQ?DF?∴△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF， ∵∠FAE=1∠BAD， 2∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=即∠EAQ=∠FAE， 在△EAQ和△EAF中 1∠BAD， 2?AE?AE???EAQ??EAF ?AQ?AF?∴△EAQ≌△EAF， ∴EF=BQ， ∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ， ∴11×BQ×AB=×FE×AM， 22∴AM=AB．
考点五：猜想变化情况
随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。
例5 （2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ． 思路分析：首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长． 解：由勾股定理得：OP4=22?1=5， ∵OP1=2?1?1；得OP2=3?2?1；OP3=2=4?3?1； 依此类推可得OPn=n?1， ∴OP2012=2012?1?2013， 故答案为：2013． 点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．
对应训练
5．（2013?黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为 ．
5．
33 4考点六：猜想数字求和 例6 （2013?广安）已知直线y=?(n?1)1x?（n为正整数）与坐标轴围成的三角n?2n?2形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012= ． 思路分析：令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出Sn，再利用拆项法整理求解即可． 1， n?2n?11令y=0，则-x+=0， n?2n?21解得x=， n?1111111g?)， 所以，Sn=g=(2n?1n?22n?1n?2111111111?) 所以，S1+S2+S3+…+S2012=(??????L?223344520132014解：令x=0，则y=1503)=． 20142014503故答案为：． 2014=(?点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出Sn，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点． 对应训练
6．（2013?黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是 ． 6．1014049
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