[ -1, 2] [ 1, 1] D =
[ 1/5, 0] [ 0, 1/2]
>> An=P*D^n*inv(P) An =
[ (2*(1/2)^n)/3 + (1/5)^n/3, (2*(1/2)^n)/3 - (2*(1/5)^n)/3] [ (1/2)^n/3 - (1/5)^n/3, (1/2)^n/3 + (2*(1/5)^n)/3] xn =
2*(1/2)^n - (1/5)^n (1/2)^n + (1/5)^n
(n)x23.3 对随机给出的(x,x)，观察数列{(n)}.该数列有极限吗?
x1(0)1(0)T2>> A=[4,2;1,3]; a=[];
x=2*rand(2,1)-1; for i=1:20
a(i,1:2)=x;
x=A*x; end for i=1:20
if a(i,1)==0
else t=a(i,2)/a(i,1);
fprintf('%g,%g\\n',i,t); end
end
(n)x2结论：在迭代17次后，发现数列{(n)}存在极限为0.5
x13.4 对120页中的例子，继续计算xn,yn(n?1,2,?).观察{xn},{yn}及m(xn)的极限是否
存在. （120页练习9）
>> A=[2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0]; x0=[1;2;3;4]; x=A*x0; for i=1:1:100 a=max(x); b=min(x);
m=a*(abs(a)>abs(b))+b*(abs(a)<=abs(b)); y=x/m; x=A*y; end
x %也可以用fprintf(‘%g\\n’,x1)，不能把x1,y一起输出 y m
程序输出： x1 =
0.9819 3.2889 -1.2890 -11.2213 y =
-0.0875 -0.2931 0.1149
1.0000 m =
-11.2213
结论：{xn},{yn}及m(xn)的极限都存在.
3.5 求出A的所有特征值与特征向量，并与上一题的结论作对比. （121页练习10） >> A=[2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0]; [P,D]=eig(A) P =
-0.3779 -0.8848 -0.0832 -0.3908 -0.5367 0.3575 -0.2786 0.4777 -0.6473 0.2988 0.1092 -0.7442 -0.3874 -0.0015 0.9505 0.2555 D =
7.2300 0 0 0 0 1.1352 0 0 0 0 -11.2213 0 0 0 0 -5.8439
结论：A的绝对值最大特征值等于上面的m(xn)的极限相等，为什么呢？
还有，P的第三列也就是-11.2213对应的特征向量和上题求解到的y也有系数关系，两者都是-11.2213的特征向量。
3.6 设p(0)?(0.5,0.25,0.25)T，对问题2求出若干天之后的天气状态，并找出其特点（取
4位有效数字）. （122页练习12） >> A2=[3/4,1/2,1/4;1/8,1/4,1/2;1/8,1/4,1/4]; P=[0.5;0.25;0.25]; for i=1:1:20
P(:,i+1)=A2*P(:,i); end P P =
Columns 1 through 10
0.5000 0.5625 0.5938 0.6035 0.6069 0.6081 0.6085
0.6086 0.6087 0.6087
0.2500 0.2500 0.2266 0.2207 0.2185 0.2178 0.2175
0.2174 0.2174 0.2174
0.2500 0.1875 0.1797 0.1758 0.1746 0.1741 0.1740
0.1739 0.1739 0.1739
Columns 11 through 20
0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087
0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174
0.2174 0.2174 0.2174
0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739
0.1739 0.1739 0.1739
Column 21
0.6087 0.2174 0.1739
结论：9天后，天气状态趋于稳定P*=（0.6087,0.2174,0.1739）T
3.7 对于问题2，求出矩阵A2的特征值与特征向量，并将特征向量与上一题中的结论作对比. （122页练习14）
>> A2=[3/4,1/2,1/4;1/8,1/4,1/2;1/8,1/4,1/4]; [P,D]=eig(A2) P =
-0.9094 -0.8069 0.3437 -0.3248 0.5116 -0.8133 -0.2598 0.2953 0.4695 D =
1.0000 0 0 0 0.3415 0 0 0 -0.0915
分析：事实上，q=k(-0.9094, -0.3248, -0.2598)T均为特征向量，而上题中P*的3个分量
之和为1，可令k(-0.9094, -0.3248, -0.2598)T=1，得k=-0.6696.有q=(0.6087, 0.2174, 0.1739),与P*一致。
3.8对问题
1，设p1,p2为A1的两个线性无关的特征向量，若
11p(0)?(,)T，具体求出上述的u,v，将p(0)表示成p1,p2的线性组合，求p(k)的
22具体表达式，并求k??时p(k)的极限，与已知结论作比较. （123页练习16）
>> A=[3/4,7/18;1/4,11/18]; [P,D]=eig(A); syms k pk;
a=solve(‘u*P(1,1)+v*P(1,2)-1/2’,’u*P(2,1)+v*P(2,2)-1/2’,’u’,’v’); pk=a.u*D(1,1).^k*P(:,1)+a.v*D(2,2).^k*P(:,2) pk =
-5/46*(13/36)^k+14/23 5/46*(13/36)^k+9/23 或者：
p0=[1/2;1/2];
[P,D]=eig(sym(A)); B=inv(sym(P))*p0 B = 5/46 9/23 syms k
pk=B(1,1)*D(1,1).^k*P(:,1)+B(2,1)*D(2,2).^k*P(:,2) pk =
-5/46*(13/36)^k+14/23 5/46*(13/36)^k+9/23 >> vpa(limit(pk,k,100),10) ans =
.6086956522
.3913043478
结论：和用练习12中用迭代的方法求得的结果是一样的。
第四次练习
教学要求：会利用软件求勾股数，并且能够分析勾股数之间的关系。会解简单的近似计算问题。
4.1 求满足c?b?2，c?1000的所有勾股数，能否类似于（11.8），把它们用一个公式表示出来？
解法程序1：for b=1:998
a=sqrt((b+2)^2-b^2); if(a==floor(a))
fprintf('a=%i,b=%i,c=%i\\n',a,b,b+2) end
end
运行结果： a=4,b=3,c=5 a=6,b=8,c=10 a=8,b=15,c=17 a=10,b=24,c=26 a=12,b=35,c=37 a=14,b=48,c=50 a=16,b=63,c=65 a=18,b=80,c=82 a=20,b=99,c=101 a=22,b=120,c=122 a=24,b=143,c=145 a=26,b=168,c=170 a=28,b=195,c=197 a=30,b=224,c=226 a=32,b=255,c=257 a=34,b=288,c=290 a=36,b=323,c=325 a=38,b=360,c=362 a=40,b=399,c=401 a=42,b=440,c=442 a=44,b=483,c=485 a=46,b=528,c=530 a=48,b=575,c=577 a=50,b=624,c=626 a=52,b=675,c=677 a=54,b=728,c=730 a=56,b=783,c=785 a=58,b=840,c=842 a=60,b=899,c=901