寒假课程讲义
年级 授课时间 授课主题 初二 2014.1.7 科目 授课次数 等腰三角形、等边三角形 数学 第 7 次 1. 重难点突破 1、了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能够判定三角形是等腰三角形或等边三角形 2、正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用其解决相关问题 3、含30?角的直角三角形的性质及其运用 4、最短路径问题 2. 达成目标 1、灵活应用性质解决相关题目。 2、能够判定三角形是等腰三角形或等边三角形。 3、正确理解含30?角的直角三角形的性质 4、能够运用知识解决实际问题的最短路径问题 知识点一 等腰三角形
概念 有两边相等的三角形是等腰三角形 注意：1、等腰三角形是轴对称图形
2、等腰三角形顶角可以是直角、锐角、钝角，而底角只能是锐角
3、对于等腰三角形问题，我们说角或是边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没有说明则都有可能，要分类讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方。 知识点二 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
注意：（1）这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便（2）应用这个性质时，必须在一个三角形中
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（“三线合一”） 知识点三 等腰三角形的判定
方法：（1）有两条边相等
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（“等边对等角”）
例 如图，AB＝AC，DB＝DC，P是AD上一点．
求证：∠ ABP＝∠ ACP．
解析：本题如果用三角形全等来证明两角相等，则至少需要证明两次三角形全等，若用线段垂直平分线的判定和性质以及等腰三角形的性质就会显得较为简单．
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证明：连结BC．
∵ AB＝AC，∴ ∠ ABC＝∠ ACB． 又∵ 点A、D在线段BC的垂直平分线上， ∴ AD就是线段BC的垂直平分线． ∴ PB＝PC．
∴ ∠ PBC＝∠ PCB．
∴ ∠ ABC－∠ PBC＝∠ ACB－∠ PCB．
即 ∠ ABP＝∠ ACP．
知识点4 等边三角形及其性质
1、概念：三边都相等的三角形是等边三角形 2、等边三角形的性质：
（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° （2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。 知识点5 等边三角形的判定
方法：（1）定义法
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
知识点6 含30?角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1AB. 2注意：（1）该性质是含有30?角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形没有，不能应用。 （2）这个性质主要运用于计算或证明线段的倍数关系。
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切。
（4）在有些题目中，若给出的角是15?角时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15?的角转化为30?的角后，再利用这个性质解决问题。 ?AC?应用模式：在RT?ABC中，??C?90?，?B?30?，
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例 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC=__________.
B
A
E D C
知识点二 最短路径问题 1、两点之间，( ) 最短。
2、三角形两边之和（ ）第三边，两边之差（ ）第三边。 3、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离（ ）。 4、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，（ ）最短。 例 在下图中直线m上找一点M，使得它到A,B两点的距离和最小。 A?
?B
m
巩固练习
1.等腰三角形ＡＢＣ中，AB=AC，∠Ａ＝70，∠Ｂ= ，∠Ｃ= ． 2.已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为 ． 3. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线。 证明：AD∥BC
0
4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的角为50?，则底角?B的度数为
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___________．
5.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则等腰三角形的腰长为___________． 6.如图，已知AB=AC，∠A=36o，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，求证： （1）BD平分∠ABC （2）△BCD为等腰三角形
7．在等腰三角形中，有一个角为80°，则另外两个角的度数为 ．
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A＝30o，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（ ） A．80° B．75° C．65° D．45°
A
DE
BC
9、如图、两条公路OA、OB相交于点O，在∠AOB的内部有两个村庄C、D，若要修一个加油站P，使P到两个村庄的距离相等，且到两条公路OA、OB的距离也相等，用尺规作出加油站P点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
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课堂检测：
1．等腰三角形中，一边与另一边之比为３：２，该三角形周长为５６，求腰长是多少？
2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。说明：DF＝EF
3.已知，如图，△ ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠ AEF＝∠ AFE． 已知，如图所示，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，请说明 AC=AB+BD。
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于F.求证：点E在AF的垂直平分线上.
A E 1 F 2 B C D
5.如图所示，在△ABC中，D为BC上的一点，连结AD，点E在AD上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD垂直平分BC。
31AE42BCD 5 咨询电话：0353-7049599 7049799