四年级奥数教案
第七讲 行程问题（二）——追及问题
本讲学习的追及问题与相遇问题同属于行程问题中的一类，它是同向运动问题。追及问题的基本特点是：两个物体同向运动，慢走在前，快走在后面，它们之间的距离不断缩短，直到快者追上慢者。追及问题属于较复杂的行程问题。追及问题中的各数量关系是：路程差=速度差×追及时间；
速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差；解答追及问题可适当的选择画图法、假设法、比较法等思考方法解题。
在解决同向问题时，要注意以下几点：
（1） 要弄清题意，紧扣速度差、追及时间和路程差这三个量之间的基本关系； （2） 对复杂的同向运动问题，可以借助直观图来帮助理解题意，分析数量关系；
（3） 要注意运动物体的出发点、出发时间、行走方向、善于扑捉速度、时间、路程对应关系。 （4） 要善于联想、转化、使隐藏的数量关系明朗化，找准理解题目的突破口。
第一课时
教学内容：掌握简单的追及问题
教学目标：理解和掌握简单的追及问题 教学重点：掌握追及问题的基本公式 教学难点：利用公式求简单的追及问题 教学过程： 一、谈话导入。
今天我们来学习行程问题当中的追及问题，它属于同向运动中的一种，下面我们就通过一个例子来给大家讲叙怎样解决追及问题。
例子：兔子在狗前面150米，一步跳2米，狗更快，一步跳3米，狗追上兔子需要跳多少步？ 我们知道，狗跳一步要比兔子跳一步远3—2=1（米），也就是狗跳一步可以追上兔子1米，现在狗与兔子相距150米，因此，只要算出150米中有几个1米，那么就知道狗跳了多少步追上兔子的。不难看出150÷1=15（步），这是狗跳的步数。
这里狗在前面跳，狗在后面追，它们一开始相差150米，这150米叫做“追及距离”；兔子每步跳2米，狗每步跳3米，它们每步相差1米，这个叫“速度差”；狗追上兔子所需的步数叫做“追及步数”有时是以秒、分钟、小时计算，则叫“追及时间”，像这种包含追及距离、速度差和追及时间（追及步数）三个量的应用题，叫做追及问题。
解决追及问题的基本关系式是： 路程差=速度差×追及时间； 速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差
在解决追及问题中，我们要抓住一个不变量，即追赶者所用时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追及时间。大家还要注意区别“追及距离”与“追赶者追上被追赶者所走的距离”这两个量之间的区别。就像刚才的例子，“追及距离”为150米，而狗追上兔一共走了3×150=450（米） 二、新授课：
1．明确公式中三个量的含义：
速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程即快车每小时比慢车多行的或每分钟多行的路程。 追及时间：快车追上慢车相差的距离。 路程差：快车开始和慢车相差的路程。 2．熟悉追及问题的三个基本公式：
路程差=速度差×追及时间； 速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差
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3．解题技巧：在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。
【例1】甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南
出发，几分钟后乙追上甲？
【思路分析】这道问题是典型的追及问题，求追及时间，根据追及问题的公式：
追及时间=路程差÷速度差
150÷（75-60）=10（分钟）
答：10分钟后乙追上甲。
【小结】提醒学生熟练掌握追及问题的三个公式。
【例2】 骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？
【思路分析】这道题目，是同时出发的同向而行的追及问题，要求其中某个速度，就必须先求出速度差，根据公式：速度差=路程差÷追及时间：
速度差：450÷3=150（千米） 自行车的速度： 150+60=210（千米） 答：骑自行车的人每分钟行210千米。
【小结】这道题目在于灵活运用追及问题的三个基本公式求其中任意三个量。
【例3】两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63 千米，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？ 【思路分析】根据题意可知，第一辆汽车先行2小时后，第二辆汽车才出发，
第二辆 A 第一辆先走2小时 第一辆 B
画线段图分析：从图中可以看出第一辆行2小时的路程为两车的路程差，即54×2=108（千米），两车相差108米，第二辆车去追第一辆车，第二辆车去追第一辆车，第二辆车每小时比第一辆车每多行63-54=9（千米），即为速度差，用
追及时间=路程差÷速度差。 解：（1）两车路程差为：54×2=108（千米）
（2）第二辆车追上所用时间：108 ÷（63-54）=12（小时） 答：第二辆车追上第一辆车所用的时间为12小时。
【小结】这道追及问题是不同时的，要先算出追及路程。 【及时练习】
1、哥哥和弟弟两人同时在一个学校上学，弟弟以每分钟80米的速度先去学校，3分钟后，哥哥骑车以每分钟200米的速度也向学校骑去，那么哥哥几分钟追上弟弟？
2、姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？ 三、课堂小结：
追及问题的基本公式：路程差=速度差×追及时间；
速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差
四、作业：思维训练 五、课后反思：
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第二课时
教学内容：追击问题
教学目标：掌握各种类型的追击问题 教学重点：会熟练解决基本的追击问题 教学难点：会解决复杂的追击问题 一、复习：追击问题的三个基本公式 二|、新授课
【例4】两艘渡船从南岸开往北岸，第一艘以每小时30千米的速度先开，第二艘渡船晚12分钟，速度为每小时40千米，结果两船同时到达，求南北两岸相距多少千米？
【分析与解】根据题意画图：
第一艘 南岸 第二艘
12分钟 要求南北岸的距离可用第一艘的速度乘以第一艘船所用的时间，或是用第二艘船的速度乘以第二艘船所用的时间。这两种时间等于追及时间，所以问题归结为求追及时间。
12分钟=0.2小时 30×0.2=6（千米） 6÷（40-30）=6÷10=0.6（小时）
40×0.6=24（千米）或30×（0.2+0.6）=24（千米） 答：南北两岸距离为24千米。
【例5】龟兔赛跑，它们同时出发，全程7000米，乌龟以每分钟30米的速度爬行，兔子每分钟跑330米，兔子跑了10分钟就停下来睡了200分钟，醒来后发现龟已超过它，立即以原速向前追赶，当兔子追上乌龟时，离终点多少米？
【分析与解】在210分钟中乌龟爬行了30×210=6300（米），兔只跑了330×10=3300米，它们的路程差为6300-3300=3000米，兔子醒来后要想追上龟需用3000÷（330-30）=10分钟，这样兔前后共行了20分钟，行了330×20=6600米，用总路程减去已行路程则可得出兔离终点的距离。 330×10=3300（米）
30×（200+10）=6300（米）
（6300-3300）÷（330-30） =3000÷300 =10（分钟）
330×（10+10）=6600（米） 7000-6600=400（米）
答：当兔子追及乌龟时，离终点400米。
【例6】一辆货车以每小时65千米的速度前进，一辆客车在它后面1500米以每小时80千米的速度向前行驶，假如客车保持车速不变，也不去超越卡车，那么肯定与卡车相撞，问在相撞前1分钟，客、货车相距多少米？
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北岸 【分析与解】这是一个追及问题，如果能求出追及时间，那么只要1500米减去在相撞前1分钟两车已行驶的路程差，就求出了答案，求追及时间是容易的，它就是1500÷（80000÷60-65000÷60）=6（分钟） 在相撞前1分钟，客车追上卡车已追上了
（80000÷60-65000÷60）×（6-1）=1250（米）因此，在相撞前一分钟，两车相距250米。抓住客车每分钟比货车快250米是不变的。
【小结】从以上例题，可以总结出解复杂行程应用题的一些经验；认真审题，抓住不变量；画图；有利于得到解题思路，倒着想，常能出奇制胜。
三、课后练习 ：1．甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？
2．一辆卡车以每小时64千米的速度开出1小时25分钟后，一辆汽车以每小时82千米的速度追赶卡车。问：在汽车赶上卡车之前2分钟，两车相距多远？ 四、课后反思：
第三课时
教学内容：环形跑道的追及问题
教学目标：掌握不同形式的追及问题的解题思路和基本规律 教学重点：通过图形分析追及问题
教学难点：找准解决环形路程的追及问题的突破口 教学过程：
一、复习：追及问题的三个基本公式。 二、新授课：
【例7】 一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?
【分析与解】 当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为400米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。 解：①甲乙的速度差：300-250=50（米） ②甲追上乙所用的时间：300÷50=8（分钟）答：经过8分钟两人相遇。
【及时练习】
两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？
【例8】在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？
【分析与解】此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，400÷2=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。 解：2小时=120分 甲第一次追上乙所用的时间：
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甲 400÷2÷（60-50）=20（分） 甲第二次开始每追乙一次所用的时间：
A B 400÷（60-50）=40（分）
甲从第二次开始追上乙多少次： （120-20）÷40=2次??20秒 甲共追上乙多少次：2+1=3（次） 乙 答：甲共追上乙3次。
【小结】这类环形跑道的追及问题一定要明确路程差和速度差。
【及时练习】在周长为300米得圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒7米，每秒5米的骑车速度同时顺时针方向行驶，20分钟内甲追上乙几次？
【例9】在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？ 【分析与解】画出两种行驶方法的示意图：
背向行驶 乙 甲 同向行驶 甲 乙 400米 400米 400米
同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。
背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。
这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少？
解：3分20秒=200秒
甲、 乙的速度和：400÷40=10（米） 甲、 乙的速度差：400÷200=2（米）
甲的速度为每秒多少米？（10+2）÷2=6（米） 乙的速度为每秒多少米？（10-2）÷2=4（米） 答：甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。
【小结】这类题目是相遇问题和追及问题的结合，以及和差问题的综合运用。
【及时练习】甲、乙两地相距450米，A、B两人从两地同时相向而行，经过5分钟相遇，已知A每分钟比B 每分钟慢6米，求A、B两车的速度各是多少米？ 三、课后练习：
1、一圆形跑道周长300米，甲、乙两人分别从A、B两端同时出发，若反向而行1分钟相遇，若同向而行5分钟，甲可追上乙，求甲、乙两人的速度。 同向而行 反向而行
甲 甲 乙 乙 A B A B
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