惠2014届高三第一次调研考试
数学试题（文科）
（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1,2,3?,N?x?Z1?x?4，则 （ ） 1.已知集合M??A.M?N B.N?M C.M?N?{2,3} D.M?N?(1,4) 2.复数
??2等于（ ） 1?iA.?1?i B.?1?i C.1?i D.1?i 3.在数列?an?中，a1?1，公比q?2，则a4的值为（ ） A．7 B．8
C．9 D．16
4.某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A．40
B．36
C．30
D．20
5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间?0,???上单调递减的函数是（ ） A．y?lnx
B．y?x
2C．y?cosx D．y?2?|x|
6.已知平面向量a,b的夹角为
?，且a?b=3，a?3，则b等于（ ） 623 D. 2 3开始 输入x A.
3 B. 23 C.
7.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ） A. 6?23 B.
93 C. 6?3 D. 23 8.执行如图所示程序框图．若输入x?3，则输出的k值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
29.圆?x?a??y?1与直线y?x相切于第三象限，则a的值是（ ）．
2k?0 x?x?5 k?k?1A．2 B．?2 C．?2 D．2
x?23? 是
否 输出k 结束
10.设函数f(x)?x3?4x?a(0?a?2)有三个零点x1,x2,x3， 且x1?x2?x3则下列结论正确的是（ ）
A.x1??1 B.x2?0 C.0?x2?1 D.x3?2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生
只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11.在△ABC中，若b?3,c?1,cosA?1，则a= . 3?x?2?12.不等式组?y?0表示的平面区域的面积是 .
?y?x?1?13.定义映射f:A?B，其中A?(m,n)m,n?R，B?R，已知对所有的有序正整数
对(m,n)满足下述条件:①f(m,1)?1，②若n?m，f(m,n)?0； ③f(m?1,n)?n?f(m,n)?f(m,n?1)?，则f(2,2)? . 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线过圆C：??22cos?的圆心C，且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为 ． 15.(几何证明选讲选做题) 如图示，C、D是半圆周上的两个三等
分点，直径AB?4，CE?AB，垂足为E，则CE的长
A 为 ．
O E B
D C ?? 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数f(x)?1?sinx?cosx.（1）求函数f(x)的最小正周期
tanx?和最小值；（2）若
3x??0,???xf(?)??2??，求42的值. 4，
组别 一 二 候车时间 人数 2 6 [0,5) [5,10)
17.（本小题满分12分）
为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：
三 四 五 [10,15) 4 2 1 [15,20) [20,25] （1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步
的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
18.（本小题满分14分）在正方体ABCD?A棱长为2，E是棱CD上中点，P1B1C1D1中，是棱AA1中点，
（1）求证：PD//面AB1E；（2）求三棱锥B?AB1E的体积．
19．（本小题满分14分）设数列?an?的前n项和为Sn，点?an,Sn?在直线x?y?2?0上，（1）证明数列?an?为等比数列，并求出其通项； n?N*．
（2）设f(n)?log1an，记bn?an?1?f(n?1)，求数列?bn?的前n和Tn． A 2D E C
B D20．（本小题满分14分）如图，A,Bx2y2?2?1(a?b?0)2ab是椭圆的两个 P ACB1AB?5顶点, ，直线AB的斜率为2．
?（1） 求椭圆的方程；（2）设直线l平行于AB， 与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D，
证明：△OCM的面积等于△ODN的面积．
21．(本小题满分14分）已知函数f(x)?lnx，g(x)?a(x2?x)(a?0,a?R)，
h(x)?f(x)?g(x)（1）若a?1，求函数h(x)的极值；
（2）若函数y?h(x)在[1,??)上单调递减，求实数a的取值范围；
（3）在函数y?f(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，使线段AB的
中点的横坐标x0与直线AB的斜率k之间满足k?f?(x0)？若存在，求出x0；若不存在，请说明理由.
惠州市2014届高三第一次调研考试试题
数 学（文科）答案
一、选择题 题号 答案 【解析】
1. N?x?Z1?x?4??2,3?，故M?N?{2,3}，选C 2.
1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 9 C 10 C ??22(1?i)??1?i，选D 1?i(1?i)(1?i)3.数列?an?为a1?1，q?2等比数列，a4?a1q3?8，选B 4.设从乙社区抽取n户，则
270n?，解得n?30 ，选C
360?270?180905.y?lnx不是偶函数，y?cosx是周期函数，在区间(0,??)上不是单调递减，y?x2在区间(0,??)上单调递增，故选D。
?2?3?????6.a?b?abcos?3?b?3,?b?3，选C
6237.由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为3，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为2?3?1?6，两底面积为2?1?2?3?23，所以表面积为26?23，选A.
8. x?3,k?0;x?8,k?1;x?13,k?2;x?18,k?3;x?23,k?4;x?28?23,k?5，故选C 9. d?a?02?r?1,解得a??2，因为圆与直线相切于第三象限，由图可知，a?0，
故选C。
10．f?(x)?3x?4，令f?(x)?3x?4?0,x??2223 故 323 30 极小值 x f?(x) (??,?23) 3?23 30 (?2323,) 33— 递减 (23,??) 3+ 递增 + 递增 f(x) 极大值
又因为f(?1)?3?a?0，f(0)?a?0，f(1)?a?3?0，
f(2)?a?0，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，
0?x2<1，选C.
1二、填空题11. 22 12. 2 13.2 14. ?cos??2 15.
2bc2?3?133
222222【解析】11.由余弦定理cosA?b?c?a?3?1?a?1,解得a?22
12.不等式组表示的可行域如图所示，故面积为13.由题意可知，f(1,1)?1，f(1,2)?0，
11?1?1? 22f(2,2)?f(1?1,2)?2(f(1,2)?f(1,1))?2(0?1)?2
14. 圆C的直角坐标方程为x?2??2?y2?2，故圆心C为
?2，0，
?过圆心且与OC垂直的直线为x?2，转为极坐标方程为
D C ?cos??2。
15.依题意知Rt?ABC,?CAB?30?,AB?4,则BC?2,AC?23, A O E B
S?ABC11?AB?CE?AC?BC,代入解得CE?3。 22
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.解：（1）已知函数即f(x)?1?1sin2x, ……………………………2分
2?T?2???… ………………………………………………………3分 2当2x?3?3??2k?(k?Z)时，即x??k?(k?Z)，…………………………4分 2411?(?1)?…………………………………………………………622f(x)min?1?分
????（2）f(?)?1?sin?2(?)??1?sin??x??1?cosx……………8分
422?42?2?22??x1?x1?1由tanx?cosx?4，sin2x?cos2x?1，解得：cosx??5………10分
?4?x?(0,),cosx?0?cosx? ……………………………………11分
25sinx34所以f(4?2)?1?2cosx?5 …………………………………12分
17.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
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