28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点(a,b1)，
(a?1,b2)，b2?b1?k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为
这个函数的限减系数．例如，函数y??x?2，当x取值a和a?1时，函数值分别为b1??a?2，
b2??a?1，故b2?b1??1?k，因此函数y??x?2是限减函数，它的限减系数为?1．
（1）写出函数y?2x?1的限减系数；
（2）m?0，已知y?1（?1?x?m,x?0）是限减函数，且限减系数k?4，求m的取值范围． x（3）已知函数y??x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y??x2的图象在点
P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限
减函数，且限减系数k??1，直接写出P点横坐标n的取值范围．
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海淀区九年级第二学期期末练习
数学参考答案及评分标准 2018．5
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1 C 2 A 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 C
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．3(a?1)2 10．6π 11．4 12．13．
1 2100100??18.75 14．4 x2.74x15．①直径所对的圆周角为直角
②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 16．
5?m?3 2三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小
题，每小题7分） 17. 解：原式=32?4?2?1?4=2?3. 2?2(?2x. 18. 解：去分母，得 6x?3(x?2)x去括号，得 6x?3x?6?4?2.
移项，合并得 5x?10. 系数化为1，得 x?2. -3 -2 -1 0 1 2不等式的解集在数轴上表示如下：
3422219. 证明：∵AD?3，AE?4，ED?5，∴AD?AE?ED.
∴?A?90?.∴DA?AB. ∵?C?90?. ∴DC?BC. ∵BD平分?ABC，∴DC?AD.∵AD?3，∴CD?3.
2220．（1）证明：依题意，得??[?(m?3)]?4?1?3m?(m?3). ∵(m?3)2?0，
∴方程总有实数根.
(2) 解：∵原方程有两个实数根3，m， ∴取m?4，可使原方程的两个根中只有一个根小于4. ．．注：只要m?4均满足题意.
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BCG21．（1）解：∵ AB∥CD，∴ ∠ABE=∠EDC.
∵ ∠BEA=∠DEF，∴ △ABE∽△FDE. ∴
ABBE?.∵ E是BD的中点，∴ BE=DE. DFDEAEF∴AB=DF. ∵ F是CD的中点，∴ CF=FD.∴ CD=2AB. ∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，∴ △ABG∽△CDG.∴ （2）证明：∵ AB∥CF，AB=CF，
∴ 四边形ABCF是平行四边形. ∵ CE=BE，BE=DE，∴ CE=ED.
DBGAB1??. GDCD2∵ CF=FD，∴ EF垂直平分CD. ∴ ∠CFA=90°.∴ 四边形ABCF是矩形. 22．解：（1）设点B的坐标为（x，y），由题意得：BF?y，BM?x. ∵ 矩形OMBF的面积为3，∴ xy?3. ∵ B在双曲线y?k上，∴ k?3. x（2）∵ 点B的横坐标为3，点B在双曲线上，∴ 点B的坐标为（3，1）. 设直线l的解析式为y?ax?b.∵ 直线l过点P(2,2)，B（3，1），∴ ??2a?b?2,?a??1, 解得?
3a?b?1.??b?4.∴ 直线l的解析式为y??x?4. ∵ 直线l与x轴交于点C（4，0），∴ BC?2.
（3） 增大
E23．解：（1） 60 ； A（2）连接OD，∵CD?AB，AB是O的直径， ∴CM?MD∵M是OA的中点，
∴AM?MO.又∵?AMC??DMO，∴△AMC?△OMD. ∴?ACM??ODM.∴CA∥OD.∵DE?CA，∴?E?90?.
BCONMD∴?ODE?180???E?90?.∴DE?OD.∴DE与⊙O相切． F （3）连接CF，CN，∵OA?CD于M，∴M是CD中点. ∴NC?ND.∵?CDF?45?，∴?NCD??NDC?45?. ∴?CND?90?.∴?CNF?90?.
1由（1）可知?AOD?60?.∴?ACD??AOD?30?.
2CONFMDEA在Rt△CDE中，?E?90?，?ECD?30?，DE?3， ∴CD?DE?6. sin30?B 13
在Rt△CND中，?CND?90?，?CDN?45?，CD?6，∴CN?CD?sin45??32. 由（1）知?CAD?2?OAD?120?，∴?CFD?180???CAD?60?.在Rt△CNF中，
?CNF?90?，?CFN?60?，CN?32，∴FN?24．（1）补充表格： 运动员 甲 乙 平均数 8.5 8.5 中位数 9 8.5 众数 9 7和10 CN?6．
tan60? （2）答案不唯一，可参考的答案如下：
甲选手：和乙选手的平均成绩相同，中位数高于乙，打出9环及以上的次数更多，打出7
环的次数较少，说明甲选手相比之下发挥更加稳定；
乙选手：与甲选手平均成绩相同，打出10环次数和7环次数都比甲多，说明乙射击时起
伏更大，但也更容易打出10环的成绩.
25．（1） 行驶里程数x 实付车费y 0 0 0＜x＜3.5 13 3.5≤x＜4 14 4≤x＜4.5 15 4.5≤x＜5 17 5≤x＜5.5 18 … …
（2）如图所示：
（3）①w2?w3?w1 ； ②如上图所示.
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26．解：（1）D1（-3，3），D2（1，3），D3（-3，-1） （2）不存在. 理由如下：
假设满足条件的C点存在，即A，B，D1，D2，D3在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线x??2即为这条抛物线的对称轴，而D1，D2在直线y?n上，则D1D2的中点C也在抛物线对称轴上，故m??2，即点C的坐标为（-2，n）. 由题意得：D1（-4，n），D2（0，n），D3（-2，2?n）.
注意到D3在抛物线的对称轴上，故D3为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是
y?a?x?2??2?n.
当x??1时，y?1，代入得a?n?1. 所以y??n?1??x?2??2?n.
令x?0，得y?4?n?1??2?n?3n?2?n，解得n?1，与n?1矛盾. 所以 不存在满足条件的C点. 27．（1）DE?DF；
22（2）解：连接DE，DF，∵△ABC是等边三角形， ∴?C?60?.∵?DBC??，∴?BDC?120???. ∵点C与点F关于BD对称，
∴?BDF??BDC?120???，DF?DC. ∴?FDC?120??2?.由（1）知DE?DF. ∴F，E，C在以D为圆心，DC为半径的圆上. ∴?FEC?1?FDC?60???. B 2AFGDEAC（3）BG?GF?FA.理由如下： 连接BF，延长AF，BD交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴?ABC??BAC?60?，AB?BC?CA. ∵点C与点F关于BD对称，∴BF?BC，
F?FBD??CBD.∴BF?BA.∴?BAF??BFA. 设?CBD??，则?ABF?60??2?. ∴?BAF?60???.∴?FAD??.
∴?FAD??DBC. 由（2）知?FEC?60???. ∴?BGE??FEC??DBC?60?.
BGDHEC 15
∴?FGB?120?，?FGD?60?.
四边形AFGB中，?AFE?360???FAB??ABG??FGB?120?. ∴?HFG?60?.∴△FGH是等边三角形. ∴FH?FG，?H?60?. ∵CD?CE，∴DA?EB.在△AHD与△BGE中，
??AHD??BGE,???HAD??GBE,∴△AHD?△BGE.∴BG?AH. ?AD?BE.?∵AH?HF?FA?GF?FA，∴BG?GF?FA．
28．解：（1）函数y?2x?1的限减系数是2；
（2）若m?1，则m?1?0，（m?1，
11）和（m，）是函数图象上两点，m?1m111????0，与函数的限减系数k?4不符，∴m?1． mm?1m(m?1)若0?m?111，（t?1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，2t?1t111?则0?t?m，?，
tt?1?t(t?1)11111∵?t(t?1)?0，且?t(t?1)??(t?)2???(m?)2??，
24244111?4，与函数的限减系数k?4不符.∴m?． ∴?tt?12若
111?m?1，（t?1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，2t?1t111111?则0?t?m，?，∵?t(t?1)?0，且?t(t?1)??(t?)2??，
244tt?1?t(t?1)1111??4，当t?时，等号成立，故函数的限减系数k?4． ∴?2tt?1?t(t?1)∴m的取值范围是
1?m?1． 2（3）-1?n?1．
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