图 4.1.1（4.1思维变化法例题图）
??5??解答：如图 4.1.1，当x??,?时，y?2sinx的图像是对称的，利用割补法求
?22?面积即可。依据三角函数 y=2sinx及其图像的对称性，其面积为S?2??2?4?。
分析：数学是一门非常灵活的学科，有人说科学的“皇后”是数学，有人说物理的基础是数学，这其实就是人们对于数学的实质性的一种概括和最好评价。在数学的王国里，无论是小学还是中学，甚至是大学乃至更高的学堂，无一不显示出数学的灵活巧妙、变化多端的特点。数学的解题方法可以说是千变万化的，所以教师更应该在课堂教学中通过各种各样的方法和技巧把数学的真正魅力展现出来，让学生的大大脑像数学的思维一样灵活，大家可以在下面得例题中就能通过在高中三角函数的实际解题过程中充分看出数学的灵活的运用。
数学知识的每个环节都是相互依存、相互联系的，就上面例2这道题在整个题目设计和分析过程中，包含了图形对称、图形面积、定义域图像位移等多方面的知识，这道题的数学知识跨度很大，数学知识的联系性也很强。所以，在解这类题时，就要求具学生们具有很强的综合数学知识、综合能力等。
3）数形结合法
方程sin2x?sinx在区间?0,2??内的解的个数是( )。 A．1 B．2 C．3 D．4
解答：在同一平面直角坐标系中分别画出在区间?0,2??内y?sin2x和y?sinx的图像，观察交点的个数就可以得到解的个数。由图4.1.2可知，在区间?0,2??内
y?sin2x和y?sinx有3个交点，所以方程sin2x?sinx在区间?0,2??内有3个解。
故选C。
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图 4.1.2（4.1数形结合法例题图）
分析：无论是在初中还是在高中的数学解题过程中“数形结合法”都扮演着十分重要的角色。不管是它的出现还是它的灵活运用都和整个数学的教学效果的高低有着直接的关系。所以，所有的高中数学教师们都共同面对的一个教学问题，也是目前许多高中数学教师共同努力研究的一个课题就是如何让学生能够灵活的解决实际问题并且是运用数形结合法的方法。
如果在解这道题时是直接运用三角函数方程的解法是非常费时费力的。所以，在解三角函数的过程中，很少会用三角函数方程可以直接求解，而且这很容易在解答的过程当中出现错误。在数学的解题过程中是这样的，但凡在解题的过程中一个步骤出现差错，那么接下来的整个解题过程都必定会出现错误，因此将无法得出正确的答案。
学生在解答这一类型的题目时，就必须要灵活的运用所学的图形知识，非常巧妙地运用数形结合的方法来解答这一类型的题目。通俗的来讲，高考数学考试本来就只有120分钟，学生在做选择题事没必要把大把的时间耗在研究解题步骤上面，只要能很快地找出正确答案就可以了。因此，在高考数学考试过程中数形结合的方法就显得非常重要了，数形结合法是高考数学考试中能拿的到高分的制胜法宝。所以无论是从缩短解题时间的角度还是保证答案准确性的角度都具有十分有利的优势，所以我们要注重培养学生们如何利用数形结合的方法在高中数学中来解题的思维习惯。 4.2 案例2——指数函数的案例分析
案例2中通过分类讨论法、化归法、数形结合法全面的分析了指数函数的案例。下面就来具体的看看：
1）分类讨论法
例1：比较下列各组中的两个值的大小。
① 1.5，1.5； ②0.52.53.2-1.2，0.5-1.5
解答：①由a?1.5?1，则y?1.5x在R上是增函数
因为2.5?3.2 所以1.52.5?1.53.2
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② a?0.5?1，则y?0.5x在R上是减函数 因为?1.2??1.5 所以0.5?1.2?0.5?1.5
例2：比较下列各组中的两个值的大小。 ①log23.4，log23.8 ③ log0.51.8，log0.52.1
解答：①由a?2?1，则y?log2X在R上是增函数
因为3.4?3.8 所以log23.4?log23.8
②由a?0.5?1，则y?0.5x在R上是减函数
因为1.8?2.1
所以log0.51.8?log0.52.1
分析：在解决一些相对复杂的题目时，就需要把整体分成许多个部分逐个解决，这就是分类讨论的方法。这个方法在初等函数中非常实用，由于指数函数的底数在“a?1或0?a?1”时函数的性质和图像就大大不同了。所以在比较两个对数或幂值大小情况下就需要用这种方法了。
通过这两个例子就可以发现其实实质就是将a?1或0?a?1进行分类，再利用函数的单调性判断大小。这两个例题看起来很容易，但其中的这种解题方法可以很好的使学生进行合理的分类，从而达到更好的效果。
2）化归法 例1：解下列方程
3x?2?256?81?x；②2x?2?6?2x?1?8?0 ① 4解答：①由43x?2?256?81?x得到26x?4?211?3x
因为6x?4?11?3x
所以x?7 9②由2x?2?6?2x?1?8?0得到4?2x?3?2x?8?0
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因为2x?8?23
所以x?3
以上两道题就是通过化归思想求解的，将指数方程化成代数方程。 例2：求log89?log332的值。 解答：原式=
lg9lg322lg35lg210???? lg8lg33lg2lg33这道题则是需要通过公式的运算，将不同底的对数转化成同底的。
分析：化归思想就是把不熟悉的未解决的问题转化成熟悉的问题，通过观察、分析、联想、类比等方式转化为比较好解决的问题。在指数函数中，利用性质与图像或者进行函数之间的相互转化把需要解决的问题转化为容易的问题，从而解决问题。
3）数形结合法
已知函数y?ax?b的图像如图4.2.1所示，求a,b的取值范围。
图4.2.1（4.2数形结合法例题图）
解答：由指数函数y?ax?a?1?的图像指数函数复合函数y?ax?b的图像就可以知道a?1，再由函数y?ax?b的图像与y轴的交点就知道1?b?0，所以b??1。因而a的取值范围是?1,???,b的取值范围是???,?1?。
分析：同一个事物都有两个方面，一个是“数”，一个是“形”。“形”可以使“数”的关系具有直观性和实际背景，所以就更具有启发性。数形结合的思想其实就是将数字与图像相结合，数字是抽象的，图形是形象的，所以将两者结合，将抽象与形象相互转化，将复杂变为简单，化抽象为直观。 4.3 教学案例分析 4.3.1 指数函数的案例
指数函数是高中引进的重要的初等函数，是高考的重点内容。学生在前面的函数性质学习的基础上，来进一步研究和学习指数函数的概念、图像和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在
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教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y?logax?a?0且a?1?和y?ax
?a?0且a?1?中，a取不同的值时反映出不同的函数图像，让学生观察、讨论、发现、
归纳出图像的共同特征、函数图像的规律，进而探究学习指对函数的性质。 注：
① 指数函数应用实例
?a?a?1??a2?2?a?2
2111?1???a?b??a2?b2??a2?b2?
????12112?1???a?b??a3?b3??a3?a3b3?b3?
????11?M , 则x2?2?M2?2。 xx11若 x-?M , 则x2?2?M2?2。
xx② 对数函数应用实例
若x?y?logax?a?0且a?1?loga
M?logaM?logaNNloga?MN??logaM?logaN logaM2?nlogaM
logab?logcb logca1 logbalogab?logab?logbc?logac
alogaN?N
loganbm?mlogab n③ 同底的指数函数y?ax(a?0,a?1)与对数函数y?logax?a?0且a?1?互为反函数，其图像关于直线y?x对称。
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